Estimation et intervalles de fluctuation : exercices de Terminale

On vérifie les conditions : $np = 400 \times 0{,}5 = 200 \geq 5$ et $n(1-p) = 200 \geq 5$. La formule s'applique.²

On calcule $\frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}05$.

Borne inférieure : $0{,}5 - 0{,}05 = 0{,}45$. Borne supérieure : $0{,}5 + 0{,}05 = 0{,}55$.

On écrit $I = [0{,}45\ ;\ 0{,}55]$.

Conditions : $np = 100 \times 0{,}3 = 30 \geq 5$ et $n(1-p) = 70 \geq 5$. La formule s'applique.²

On calcule $\frac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$.

L'intervalle est $I = [0{,}3 - 0{,}1\ ;\ 0{,}3 + 0{,}1] = [0{,}2\ ;\ 0{,}4]$. La borne supérieure vaut $0{,}4$.

La fréquence observée est $f = 0{,}41$. Elle n'appartient pas à $[0{,}2\ ;\ 0{,}4]$.

On conclut : au seuil de 95 %, l'annonce de 30 % de pièces défectueuses est remise en cause, car la fréquence observée est suspecte.

On calcule $\frac{1}{\sqrt{2500}} = \frac{1}{50} = 0{,}02$ ; les conditions $np = 1000$ et $n(1-p) = 1500$ sont bien supérieures à 5.²

$I = [0{,}4 - 0{,}02\ ;\ 0{,}4 + 0{,}02] = [0{,}38\ ;\ 0{,}42]$.

Amplitude : $\left(p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) - \left(p - \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{2}{\sqrt{n}} = \frac{2}{50} = 0{,}04$.

Avec $4n$ au lieu de $n$, l'amplitude devient $\frac{2}{\sqrt{4n}} = \frac{2}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$ : elle est divisée par 2.

L'amplitude de $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ est $\frac{2}{\sqrt{n}}$.²

On doit avoir $\frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0{,}02$.

Comme $\sqrt{n} > 0$, cela équivaut à $\sqrt{n} \geq \frac{2}{0{,}02} = 100$.

On élève au carré : $n \geq 100^2 = 10\,000$.

La plus petite valeur entière convenable est $n = 10\,000$.

Un intervalle de fluctuation n'a de sens que si $p$ est connue ; ici elle est inconnue, c'est donc l'intervalle de confiance qui est pertinent.²

On a $f = 0{,}42$ et $n = 1600$, donc $\frac{1}{\sqrt{1600}} = \frac{1}{40} = 0{,}025$.

Pour un sondage, la vraie valeur $p$ se trouve dans $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ avec une probabilité d'au moins 95 %.³

On obtient $[0{,}42 - 0{,}025\ ;\ 0{,}42 + 0{,}025] = [0{,}395\ ;\ 0{,}445]$. La borne supérieure vaut $0{,}445$.

La valeur $0{,}45$ est à l'extérieur de l'intervalle : le titre du journaliste est au-dessus de ce que le sondage permet d'affirmer.

Non : observer aucun cas dans un échantillon ne signifie pas qu'il n'en existe aucun dans la production entière. Un échantillon ne montre qu'une partie des objets.³

D'après la règle de trois, la borne supérieure de l'intervalle de confiance est $\frac{3}{n}$.³

Avec $n = 1500$ : $\frac{3}{1500} = 0{,}002$, soit $0{,}2\ \%$. L'intervalle obtenu est $[0\ ;\ 0{,}002]$.

Avec la formule générale, la borne supérieure serait $0 + \frac{1}{\sqrt{1500}} \approx 0{,}026$, soit environ $2{,}6\ \%$.

La règle de trois est donc nettement plus fine que la formule générale dans ce cas particulier de fréquence nulle.