Mathématiques complémentaires (option) · Terminale · Probabilités et statistiques

Loi exponentielle

• Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ si sa densité est $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ pour $x\geq 0$ et $0$ pour $x<0$.
• Fonction de répartition : $P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}$ pour $x\geq 0$, donc $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ ; $P(a\leq X\leq b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$.
• Espérance : $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$. On choisit donc $\lambda$ à partir de la durée moyenne observée.
• Absence de mémoire : $P_{X>t}(X>t+s)=P(X>s)$. Le phénomène ne vieillit pas.