Mathématiques complémentaires (option) · Terminale

Statistiques à deux variables et ajustement affine : cours de Terminale

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une série statistique à deux variables se représente par un nuage de points ; l'ajustement affine cherche la droite qui approche au mieux ce nuage.²
La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux ; elle passe par le point moyen $G(\bar x\,;\bar y)$ et a pour pente $a=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}$ .
Le coefficient de corrélation linéaire $r=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}$ vaut 1 ou −1 quand les points sont exactement alignés ; plus $|r|$ est proche de 1, plus l'ajustement affine est pertinent.³
Corrélation n'est pas causalité, et on ne prolonge la droite que près du nuage : au-delà, la relation peut cesser d'être affine.²
Si le nuage est courbe, un changement de variable (par exemple $z=\ln y$ ) peut ramener le problème à un ajustement affine.¹

Pourquoi étudier deux variables ensemble ?

Jusqu'ici, en statistique, tu as souvent résumé une variable à la fois : une moyenne, un écart type, une médiane. Or, dans la vie réelle, on se demande presque toujours si deux grandeurs évoluent ensemble. Le budget publicitaire d'une entreprise fait-il monter ses ventes ? La température extérieure influence-t-elle la consommation de chauffage ? Le temps de révision change-t-il la note obtenue ?

Pour répondre, on relève pour chaque individu deux valeurs, et on obtient une série statistique à deux variables. Le programme de mathématiques complémentaires propose d'étudier ces séries pour conjecturer des relations entre variables, notamment des relations affines, et il retient trois outils : l'ajustement affine, la droite des moindres carrés et le coefficient de corrélation.¹ C'est le plan de ce cours.

Un ajustement affine est la détermination d'une droite qui approche au mieux un nuage de points dans le plan.² Cette droite sert à deux choses que tu retrouveras tout au long du chapitre : mesurer si une relation affine entre les deux variables est pertinente, et en estimer les coefficients.²

Elle permet aussi de produire une droite de tendance, pour formuler une prévision sur un comportement futur proche, ou pour estimer une valeur entre deux mesures déjà effectuées, ce qu'on appelle une interpolation.²

Lire un nuage de points

Avant de calculer quoi que ce soit, regarde le nuage. Trois questions suffisent pour orienter l'étude :

Les points semblent-ils alignés autour d'une droite, ou dessinent-ils plutôt une courbe ?
Si la tendance est affine, la droite monte-t-elle (quand $x$ augmente, $y$ augmente en moyenne) ou descend-elle ?
Les points sont-ils serrés près de cette droite, ou dispersés ?

Le signe du coefficient de corrélation que nous verrons plus loin indique justement si des valeurs plus hautes de l'une des variables correspondent en moyenne à des valeurs plus hautes ou plus basses de l'autre.³

ExempleUn premier nuage

Une boutique en ligne relève, sur cinq mois, son budget publicitaire $x$ (en milliers d'euros) et ses ventes $y$ (en centaines d'articles).

Mois	1	2	3	4	5
Budget $x_i$	1	2	3	4	5
Ventes $y_i$	3	5	6	8	9

Les moyennes sont $\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3$ et $\bar y=\dfrac{3+5+6+8+9}{5}=6{,}2$ . Le point moyen est donc $G(3\,;6{,}2)$ . Les points montent de façon à peu près régulière : une droite semble une bonne idée. Reste à savoir laquelle.

La droite des moindres carrés

On pourrait tracer une droite « à la règle » qui passe au milieu des points, mais deux personnes n'en tracent jamais exactement la même. On veut une droite définie par un critère précis, que tout le monde retrouve par le calcul.

Le principe est le suivant : en représentant la liaison entre les variables par une droite, on commet une erreur pour chaque point, et on veut que l'erreur globale soit la plus petite possible. Le critère le plus souvent utilisé, mais pas le seul possible, consiste à minimiser la somme des erreurs élevées au carré ; c'est la méthode des moindres carrés, et la droite obtenue s'appelle une droite de régression.³ Elle se rattache à ce que l'on nomme régression linéaire.²

Pourquoi élever au carré ? Si l'on additionnait simplement les écarts, les points au-dessus de la droite (écart positif) compenseraient ceux en dessous (écart négatif), et une droite très mauvaise pourrait obtenir une somme nulle. Le carré rend tous les écarts positifs, et il pénalise davantage les gros écarts que les petits.

Démonstration · Pourquoi ces valeurs de $a$ et $b$ ?

On cherche le minimum de $S(a,b)=\sum (y_i-ax_i-b)^2$ .

Étape 1 : le coefficient $b$ . À $a$ fixé, $S$ est un trinôme du second degré en $b$ : $S=nb^2-2b\sum (y_i-ax_i)+\sum (y_i-ax_i)^2$ . Il est minimal pour $b=\dfrac1n\sum (y_i-ax_i)=\bar y-a\bar x$ . La droite passe donc par $G$ .

Étape 2 : le coefficient $a$ . Avec $b=\bar y-a\bar x$ , on a $y_i-ax_i-b=(y_i-\bar y)-a(x_i-\bar x)$ . En développant,

$S=\sum (y_i-\bar y)^2-2a\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)+a^2\sum (x_i-\bar x)^2 .$

C'est un trinôme en $a$ , de coefficient dominant $\sum (x_i-\bar x)^2>0$ . Son minimum est atteint en $a=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2}=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}$ (les facteurs $\frac1n$ se simplifient).

ExempleLa boutique en ligne : calcul complet

Reprenons $\bar x=3$ et $\bar y=6{,}2$ .

$x_i$	$y_i$	$x_i-\bar x$	$y_i-\bar y$	produit	$(x_i-\bar x)^2$
1	3	−2	−3,2	6,4	4
2	5	−1	−1,2	1,2	1
3	6	0	−0,2	0	0
4	8	1	1,8	1,8	1
5	9	2	2,8	5,6	4

On obtient $S_{xy}=6{,}4+1{,}2+0+1{,}8+5{,}6=15$ et $S_{xx}=4+1+0+1+4=10$ .

Donc $a=\dfrac{15}{10}=1{,}5$ et $b=6{,}2-1{,}5\times 3=1{,}7$ . La droite d'ajustement est

$y=1{,}5x+1{,}7 .$

Interprétation : chaque millier d'euros de publicité supplémentaire s'accompagne, en moyenne sur cette série, d'environ 1,5 centaine d'articles vendus en plus.

Le coefficient de corrélation linéaire

La droite des moindres carrés existe toujours, même pour un nuage complètement éparpillé. Il faut donc un indicateur qui dise si cet ajustement est légitime. C'est le rôle du coefficient de corrélation linéaire.

PropriétéCe que dit la valeur de $r$

Le signe de $r$ renseigne sur le sens de la liaison : positif, les grandes valeurs de $x$ vont plutôt avec les grandes valeurs de $y$ ; négatif, elles vont plutôt avec les petites.³
On a $r=1$ quand $y$ s'écrit exactement $ax+b$ avec $a>0$ (tous les points sont sur une droite qui monte), et $r=-1$ quand $y$ s'écrit exactement $ax+b$ avec $a<0$ (droite qui descend).³
Entre ces deux extrêmes, $r$ mesure à quel point la liaison est proche d'une relation affine : plus $|r|$ s'approche de 1, plus la corrélation linéaire est forte, et l'on dit alors que les variables sont fortement corrélées.³
Plus la droite représente fidèlement la liaison, plus le coefficient de corrélation associé se rapproche de $-1$ ou de $1$ .³

Lire le coefficient de corrélation
Valeur de r	Ce que cela signifie
r = 1	y est une fonction affine croissante de x
r proche de 1	corrélation linéaire forte et positive
r proche de 0	pas de corrélation linéaire (autre liaison possible)
r proche de −1	corrélation linéaire forte et négative
r = −1	y est une fonction affine décroissante de x

Lire le coefficient de corrélation · Interprétation de r (d'après les propriétés de la corrélation linéaire).

Un lien utile avec la droite : comme $a=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x^2}$ et $r=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}$ , on obtient

$a=r\,\frac{\sigma_y}{\sigma_x}.$

La pente de la droite a donc toujours le même signe que $r$ , puisque les écarts types sont positifs. C'est cohérent avec le sens de la liaison : une droite qui monte correspond à un $r$ positif.

Pourquoi le coefficient mesure-t-il l'alignement ? Place-toi dans un repère centré sur le point moyen. Si l'ajustement affine n'est pas légitime, il y a grossièrement autant de points dans chacun des quatre quadrants, les produits $(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ ont des signes différents, ils se compensent dans la somme, et $r$ est petit en valeur absolue. Si au contraire l'ajustement est légitime, deux quadrants opposés contiennent l'essentiel des points, les produits ont presque tous le même signe, et $|r|$ est grand.²

ExempleCorrélation de la boutique en ligne

On a déjà $S_{xy}=15$ et $S_{xx}=10$ . Calculons $S_{yy}=\sum (y_i-\bar y)^2$ :

$S_{yy}=(-3{,}2)^2+(-1{,}2)^2+(-0{,}2)^2+1{,}8^2+2{,}8^2=10{,}24+1{,}44+0{,}04+3{,}24+7{,}84=22{,}8 .$

Alors

$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}=\frac{15}{\sqrt{10\times 22{,}8}}=\frac{15}{\sqrt{228}}\approx 0{,}993 .$

Le coefficient est positif et très proche de 1 : les points sont presque alignés sur une droite croissante, l'ajustement affine est tout à fait pertinent.

Utiliser la droite : interpolation, extrapolation et prévisions

Une fois la droite $y=ax+b$ obtenue et jugée pertinente, on l'utilise pour estimer une valeur de $y$ qui n'a pas été mesurée : on remplace $x$ par la valeur voulue et on calcule $ax+b$ . Selon l'endroit où se trouve cette valeur de $x$ , on parle de deux situations.

Interpolation : $x$ est situé entre deux valeurs mesurées. L'estimation est en général fiable si $|r|$ est proche de 1.
Extrapolation : $x$ est situé en dehors de l'intervalle des mesures. L'estimation est beaucoup plus risquée.

Nuage de points et droite d'ajustement · Les cinq points de l'exercice 1, leur point moyen G et leur droite des moindres carrés y = 0,6x + 2,2.

Corrélation et causalité

C'est le piège le plus célèbre du chapitre, et il tombe souvent dans les questions de réflexion. Un coefficient $|r|$ proche de 1 dit que les deux variables varient de façon coordonnée. Il ne dit pas que l'une provoque l'autre.

« Le tracé d'une droite d'ajustement n'induit pas qu'il existe une relation de cause à effet entre les deux phénomènes mesurés »²

Même très forte, une corrélation ne prouve pas que l'une des variables agit sur l'autre. Le cas typique est celui de deux grandeurs qui dépendent d'une même cause.³ Elles peuvent ainsi évoluer ensemble parce qu'une troisième variable, non mesurée, commande les deux à la fois.³

Un exemple classique : dans une station balnéaire, le nombre de coups de soleil relevés et le nombre de paires de lunettes de soleil écoulées montent et descendent ensemble. Pourtant, selon toute vraisemblance, ni l'un ne provoque l'autre, ni l'inverse.³ Ce qui commande les deux, c'est l'ensoleillement.

Quand le nuage n'est pas affine : changement de variable

Il arrive que le nuage dessine une courbe, par exemple une croissance de plus en plus rapide. Une droite serait alors un mauvais modèle, même si $r$ peut rester assez proche de 1 en valeur absolue : c'est la forme du nuage qui doit alerter. Le programme prévoit d'ailleurs des ajustements qui se ramènent, par changement de variable, à un ajustement affine.¹ Il est aussi précisé que des phénomènes peuvent être corrélés de manière exponentielle ou sous forme de puissance.³

L'idée est de transformer l'une des variables pour que la relation devienne affine, puis d'appliquer tout ce qui précède à la variable transformée.

Méthode de résolution d'un problème complet

Observer le nuageLes points semblent-ils alignés ?
Point moyenCalculer la moyenne de x et celle de y.
Droitea = cov(x,y) / V(x), puis b = ȳ − a·x̄.
CorrélationCalculer r et juger la pertinence.
EstimerRemplacer x, conclure avec prudence.

Les étapes d'un ajustement affine · Le fil d'un problème d'ajustement affine.

ExempleUn problème rédigé

On relève la température extérieure $x$ (en °C) et la consommation de chauffage $y$ (en kWh par jour) d'un bâtiment sur cinq jours.

$x_i$	0	2	4	6	8
$y_i$	30	26	21	17	11

Moyennes. $\bar x=4$ et $\bar y=\dfrac{30+26+21+17+11}{5}=21$ .

Sommes. $x_i-\bar x=-4,-2,0,2,4$ et $y_i-\bar y=9,5,0,-4,-10$ . Donc $S_{xy}=-36-10+0-8-40=-94$ et $S_{xx}=16+4+0+4+16=40$ .

Droite. $a=\dfrac{-94}{40}=-2{,}35$ et $b=21-(-2{,}35)\times 4=30{,}4$ . La droite est $y=-2{,}35x+30{,}4$ .

Corrélation. $S_{yy}=81+25+0+16+100=222$ , donc $r=\dfrac{-94}{\sqrt{40\times 222}}=\dfrac{-94}{\sqrt{8880}}\approx -0{,}998$ . Le signe négatif traduit que la consommation baisse quand la température monte, et la valeur absolue très proche de 1 valide l'ajustement.

Estimation. Pour $x=5$ (interpolation), $y=-2{,}35\times 5+30{,}4=18{,}65$ kWh par jour environ. Chaque degré de plus s'accompagne, en moyenne sur ces mesures, d'une baisse d'environ 2,35 kWh par jour.

Exercices corrigés

Exercice 1 Droite d'ajustement et prévision

★☆☆Environ 12 min

Un élève note le temps de révision $x$ (en heures) avant cinq contrôles et la note obtenue $y$ (sur 10) :

$x_i$	1	2	3	4	5
$y_i$	2	4	5	4	5

Calcule les coordonnées du point moyen $G$ .
Détermine l'équation de la droite des moindres carrés $y=ax+b$ .
Estime la note pour 6 heures de révision. Cette estimation est-elle une interpolation ?

Indice 1

Calcule d'abord $S_{xy}=\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ et $S_{xx}=\sum(x_i-\bar x)^2$ , puis fais le quotient.

Indice 2

Une fois $a$ trouvé, utilise le fait que la droite passe par $G$ pour obtenir $b$ .

Voir la correction pas à pas

Moyennes : $\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3$ et $\bar y=\dfrac{2+4+5+4+5}{5}=4$ . Donc $G(3\,;4)$ .
Écarts à la moyenne : pour $x$ : $-2,-1,0,1,2$ ; pour $y$ : $-2,0,1,0,1$ .
Produits : $4,\ 0,\ 0,\ 0,\ 2$ , donc $S_{xy}=6$ . Carrés des écarts en $x$ : $4,1,0,1,4$ , donc $S_{xx}=10$ .
Pente : $a=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{6}{10}=0{,}6$ .
Ordonnée à l'origine : $b=\bar y-a\bar x=4-0{,}6\times 3=2{,}2$ . La droite est $y=0{,}6x+2{,}2$ .
Estimation pour $x=6$ : $y=0{,}6\times 6+2{,}2=5{,}8$ . Comme 6 est en dehors de l'intervalle $[1\,;5]$ des mesures, c'est une extrapolation, pas une interpolation.

La droite est $y=0{,}6x+2{,}2$ et la note estimée pour 6 heures est d'environ 5,8 sur 10. Comme 6 sort de l'intervalle des mesures, cette valeur est à prendre avec prudence.

Exercice 2 Corrélation d'une série décroissante

★★☆Environ 15 min

On mesure la hauteur $y$ (en cm) d'une bougie après $x$ heures de combustion :

$x_i$	0	1	2	3	4
$y_i$	10	8	7	5	2

Calcule $\bar x$ , $\bar y$ et les sommes $S_{xx}$ , $S_{xy}$ , $S_{yy}$ .
Donne l'équation de la droite des moindres carrés.
Calcule le coefficient de corrélation linéaire $r$ (arrondi au millième) et interprète son signe et sa valeur.

Indice 1

Pour $S_{yy}$ , calcule les carrés des écarts $y_i-\bar y$ avec $\bar y=6{,}4$ .

Indice 2

$r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ : le signe de $r$ est celui de $S_{xy}$ .

Voir la correction pas à pas

Moyennes : $\bar x=2$ et $\bar y=\dfrac{10+8+7+5+2}{5}=6{,}4$ .
Écarts en $x$ : $-2,-1,0,1,2$ , d'où $S_{xx}=10$ . Écarts en $y$ : $3{,}6\,;1{,}6\,;0{,}6\,;-1{,}4\,;-4{,}4$ .
Produits : $-7{,}2\,;-1{,}6\,;0\,;-1{,}4\,;-8{,}8$ , donc $S_{xy}=-19$ .
Carrés des écarts en $y$ : $12{,}96\,;2{,}56\,;0{,}36\,;1{,}96\,;19{,}36$ , donc $S_{yy}=37{,}2$ .
Droite : $a=\dfrac{-19}{10}=-1{,}9$ et $b=6{,}4-(-1{,}9)\times 2=10{,}2$ , soit $y=-1{,}9x+10{,}2$ .
Corrélation : $r=\dfrac{-19}{\sqrt{10\times 37{,}2}}=\dfrac{-19}{\sqrt{372}}\approx -0{,}985$ .
Interprétation : $r<0$ car la hauteur diminue quand le temps augmente ; $|r|$ est proche de 1, donc l'ajustement affine est pertinent.

La droite est $y=-1{,}9x+10{,}2$ et $r\approx -0{,}985$ . La bougie perd en moyenne 1,9 cm par heure sur cette série, avec une relation presque affine décroissante.

Exercice 3 Ajustement exponentiel par changement de variable

★★★Environ 20 min

Une population de bactéries est comptée (en milliers) à intervalles réguliers :

$x_i$ (heures)	0	1	2	3
$y_i$ (milliers)	2	6	18	54

Explique pourquoi un ajustement affine direct de $y$ en $x$ est peu adapté.
On pose $z=\ln y$ . Calcule les valeurs de $z_i$ (arrondies au millième) et montre que les points $(x_i\,;z_i)$ sont alignés.
Détermine l'équation de la droite $z=ax+b$ puis une expression de $y$ en fonction de $x$ .
Estime l'effectif à $x=4$ heures (arrondi à l'unité).

Indice 1

Regarde ce qui se passe quand on passe de $x$ à $x+1$ : $y$ est multiplié par un facteur constant.

Indice 2

Si $z_{i+1}-z_i$ est constant, la pente $a$ de la droite est cette constante, et $b=z_0$ car $x_0=0$ .

Voir la correction pas à pas

Les valeurs de $y$ sont multipliées par 3 à chaque heure : la croissance est de plus en plus rapide, le nuage est courbe, et une droite l'ajusterait mal.
Les valeurs de $z_i=\ln y_i$ sont : $\ln 2\approx 0{,}693$ ; $\ln 6\approx 1{,}792$ ; $\ln 18\approx 2{,}890$ ; $\ln 54\approx 3{,}989$ .
Les différences successives valent chacune $\ln 3\approx 1{,}099$ : les points sont alignés, avec un coefficient de corrélation égal à 1.
La droite est donc $z=\ln 3\times x+\ln 2\approx 1{,}099x+0{,}693$ .
On revient à $y=e^{z}=e^{0{,}693}\times (e^{1{,}099})^{x}=2\times 3^{x}$ .
Pour $x=4$ : $y=2\times 3^{4}=2\times 81=162$ milliers de bactéries.

Le changement de variable $z=\ln y$ transforme une croissance exponentielle en relation affine : $y=2\times 3^{x}$ , soit 162 milliers de bactéries estimées à 4 heures. Cette extrapolation d'une heure reste proche du nuage.

Les questions qu'on se pose

À quoi sert un ajustement affine concrètement ?

Il sert à résumer une relation entre deux grandeurs par une droite, à juger si cette relation affine est pertinente, et à en estimer les coefficients.² Une fois la droite obtenue, on s'en sert pour une interpolation entre deux mesures ou pour une prévision proche, par exemple estimer des ventes, une consommation ou une note pour une valeur non mesurée.²

Comment savoir si l'ajustement affine est légitime ?

Regarde d'abord le nuage : s'il est courbe, la droite n'est pas adaptée. Calcule ensuite $r$ : plus $|r|$ s'approche de 1, plus la corrélation linéaire est forte.³ Si $r$ est faible, il faut se méfier, mais un $r$ proche de 0 n'exclut pas un autre type de liaison (exponentielle, en puissance).³ Dans ce cas, un changement de variable peut ramener le problème à un ajustement affine.¹

Une forte corrélation prouve-t-elle que x cause y ?

Non. Une forte corrélation ne démontre pas une relation de causalité, car les deux phénomènes peuvent dépendre d'une même troisième variable non mesurée.³ Exemple : les coups de soleil et les ventes de lunettes de soleil évoluent ensemble, mais ni l'un ni l'autre n'est la cause de l'autre.³ À l'examen, formule une conclusion prudente.

Peut-on prolonger la droite pour prévoir très loin ?

Il vaut mieux l'éviter. Plus tu t'éloignes des mesures, moins tu peux compter sur une relation restée affine : l'étude ne garantit rien en dehors de son domaine.² Une interpolation entre deux mesures est en général plus sûre qu'une extrapolation.

Quelle est la différence entre la droite de y en x et celle de x en y ?

La droite de $y$ en $x$ minimise les écarts verticaux (selon $y$ ), celle de $x$ en $y$ minimise les écarts horizontaux. Elles sont en général différentes et ne coïncident que si les points sont exactement alignés. Choisis la variable à prévoir comme variable expliquée $y$ .

Sources

Ressources pédagogiques Éduscol - Mathématiques (document PDF), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ajustement affine, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Corrélation (statistiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Statistiques à deux variables et ajustement affine : cours de Terminale

L'essentiel

Pourquoi étudier deux variables ensemble ?

Lire un nuage de points

La droite des moindres carrés

Le coefficient de corrélation linéaire

Utiliser la droite : interpolation, extrapolation et prévisions

Corrélation et causalité

Quand le nuage n'est pas affine : changement de variable

Méthode de résolution d'un problème complet

Exercices corrigés

Exercice 1 Droite d'ajustement et prévision

Exercice 2 Corrélation d'une série décroissante

Exercice 3 Ajustement exponentiel par changement de variable

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

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