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Statistiques à deux variables : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un ajustement affine cherche la droite qui approche au mieux un nuage de points ; elle sert à interpoler ou à prévoir ².
La droite des moindres carrés rend minimale la somme des carrés des écarts entre les points et la droite ³.
Le coefficient de corrélation linéaire est le quotient de la covariance par le produit des écarts types ; il vaut 1 ou -1 quand les points sont exactement alignés ³.
Une forte corrélation ne prouve jamais une relation de cause à effet, et une prévision doit rester proche des données ²³.
Quand le nuage n'est pas aligné, un changement de variable peut ramener l'étude à un ajustement affine ¹.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices couvrent le chapitre sur les séries statistiques à deux variables. L'objectif du programme est de te faire utiliser des outils d'analyse qui font intervenir des fonctions, en repartant de ce que tu connais de la statistique descriptive ¹. Chaque exercice a un niveau : le niveau 1 vérifie le vocabulaire et les calculs directs, le niveau 2 demande d'enchaîner deux idées, le niveau 3 mêle calcul et interprétation.

Cherche d'abord seul, sur papier. Ouvre les indices un par un, seulement si tu es bloqué. Lis la correction à la fin, même si ton résultat est juste : la façon de rédiger compte autant que le nombre.

Les exercices

Exercice 1 Prévoir avec une droite donnée

★☆☆Environ 5 min

Une association sportive étudie le lien entre le nombre $x$ d'entraînements hebdomadaires de ses nageurs et le gain $y$ (en secondes) obtenu sur un 100 m en une saison. À partir des mesures, un tableur fournit la droite d'ajustement $y=2{,}5x+10$ .

Quel gain la droite prévoit-elle pour $x=8$ ?

Indice 1

Il suffit de remplacer $x$ par 8 dans l'équation de la droite.

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On repère l'équation donnée : $y=2{,}5x+10$ .
On remplace $x$ par 8 : $y=2{,}5\times 8+10$ .
On calcule : $2{,}5\times 8=20$ , puis $20+10=30$ .

La droite prévoit un gain de 30 secondes pour 8 entraînements. Si 8 se situe parmi les valeurs observées, on parle d'interpolation ; au-delà des données, ce serait une extrapolation, à manier avec prudence ².

Exercice 2 Calculer un coefficient de corrélation

★☆☆Environ 5 min

Pour une série statistique à deux variables $(x\,;\,y)$ , on donne : covariance $\operatorname{cov}(x,y)=12$ , écart type $\sigma_x=3$ , écart type $\sigma_y=5$ .

Calcule le coefficient de corrélation linéaire $r$ , puis dis ce qu'il indique.

Indice 1

Le coefficient de corrélation est le quotient de la covariance par le produit des deux écarts types.

Indice 2

Calcule d'abord le produit $\sigma_x\sigma_y$ .

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On écrit la définition : $r=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y}$ ³.
On calcule le dénominateur : $3\times 5=15$ .
On divise : $r=\dfrac{12}{15}=0{,}8$ .
On interprète : $r$ est positif et assez proche de 1.

$r=0{,}8$ . Le signe positif indique que des valeurs plus hautes de l'une des variables correspondent en moyenne à des valeurs plus hautes de l'autre ³. Comme $r$ est proche de 1, la liaison linéaire est forte, mais cela ne dit rien sur une éventuelle cause ³.

Exercice 3 Résidus et somme des carrés

★★☆Environ 10 min

Trois points mesurés : $A(1\,;\,3{,}5)$ , $B(2\,;\,4{,}2)$ et $C(3\,;\,6{,}9)$ . On propose la droite $D_1$ d'équation $y=2x+1$ .

Calcule l'ordonnée prévue par $D_1$ pour chaque point.
Calcule les trois résidus $y_i-(2x_i+1)$ .
Calcule la somme des carrés des résidus.

Indice 1

Pour chaque abscisse, calcule $2x+1$ puis soustrais-le à l'ordonnée mesurée.

Indice 2

Élève chaque résidu au carré avant d'additionner : un résidu négatif doit compter autant qu'un positif.

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Ordonnées prévues : pour $x=1$ , $3$ ; pour $x=2$ , $5$ ; pour $x=3$ , $7$ .
Résidus : $3{,}5-3=0{,}5$ ; $4{,}2-5=-0{,}8$ ; $6{,}9-7=-0{,}1$ .
Carrés : $0{,}25$ ; $0{,}64$ ; $0{,}01$ .
Somme : $0{,}25+0{,}64+0{,}01=0{,}9$ .

La somme des carrés des résidus vaut 0,9. Les carrés évitent que les écarts positifs et négatifs se compensent. C'est cette quantité que la méthode des moindres carrés cherche à rendre minimale ³.

Exercice 4 Comparer deux droites

★★☆Environ 10 min

Reprends les points $A(1\,;\,3{,}5)$ , $B(2\,;\,4{,}2)$ , $C(3\,;\,6{,}9)$ . Pour la droite $D_2$ d'équation $y=2{,}1x+0{,}8$ , calcule la somme des carrés des résidus. Compare avec la valeur $0{,}9$ obtenue pour $D_1$ : $y=2x+1$ . Laquelle des deux droites représente le mieux le nuage selon le critère des moindres carrés ?

Indice 1

Les ordonnées prévues par $D_2$ sont $2{,}9$ ; $5{,}0$ ; $7{,}1$ .

Indice 2

Plus la somme des carrés des résidus est petite, meilleur est l'ajustement.

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Ordonnées prévues par $D_2$ : $2{,}1+0{,}8=2{,}9$ ; $4{,}2+0{,}8=5$ ; $6{,}3+0{,}8=7{,}1$ .
Résidus : $3{,}5-2{,}9=0{,}6$ ; $4{,}2-5=-0{,}8$ ; $6{,}9-7{,}1=-0{,}2$ .
Somme des carrés : $0{,}36+0{,}64+0{,}04=1{,}04$ .
Comparaison : $1{,}04>0{,}9$ , donc $D_1$ fait une erreur quadratique plus petite.

Pour $D_2$ , la somme vaut 1,04, plus grande que celle de $D_1$ . Selon le critère des moindres carrés, qui consiste à minimiser la somme des carrés des erreurs ³, $D_1$ est la meilleure des deux. Cela ne prouve pas que $D_1$ soit la meilleure de toutes les droites possibles.

Exercice 5 Interpoler et se méfier du reste

★★☆Environ 10 min

Le nombre d'abonnés d'une salle de sport, en centaines, a été relevé chaque année de 2015 à 2024. On note $x$ le nombre d'années écoulées depuis 2015. La droite d'ajustement trouvée est $y=3{,}2x+41$ .

Quel nombre d'abonnés la droite donne-t-elle pour 2022 ?
Un élève utilise la même droite pour 2090. Que penser de son résultat ?

Indice 1

Pour 2022, $x=2022-2015$ .

Indice 2

Pour la question 2, demande-toi si l'évolution constatée sur dix ans peut se prolonger pendant des décennies.

Voir la correction pas à pas

On calcule $x=2022-2015=7$ .
On remplace : $y=3{,}2\times 7+41=22{,}4+41=63{,}4$ .
Pour 2090, $x=75$ donne $y=3{,}2\times 75+41=281$ : le résultat est très éloigné de toute valeur observée.
On justifie : au-delà des frontières de l'étude, le comportement des variables peut très bien ne plus être affine ².

Pour 2022, la droite donne 63,4 centaines d'abonnés, soit environ 6 340. C'est une interpolation, fiable. Pour 2090, on est loin du nuage de points : les extrapolations doivent se limiter au voisinage proche des données ².

Exercice 6 Interpréter un coefficient négatif

★★☆Environ 8 min

On étudie la température extérieure $x$ et la consommation $y$ de chocolat chaud d'un café. On donne $\operatorname{cov}(x,y)=-18{,}9$ , $\sigma_x=4{,}5$ et $\sigma_y=6$ .

Calcule $r$ et interprète le résultat.

Indice 1

Applique la même formule que pour tout coefficient de corrélation, en gardant le signe de la covariance.

Indice 2

Que signifie un signe négatif pour $r$ ?

Voir la correction pas à pas

On écrit $r=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y}$ ³.
Dénominateur : $4{,}5\times 6=27$ .
Quotient : $r=\dfrac{-18{,}9}{27}=-0{,}7$ .
Interprétation du signe : des valeurs plus hautes de la température correspondent, en moyenne, à des valeurs plus basses de la consommation ³.

$r=-0{,}7$ : la liaison linéaire est assez forte et décroissante. Plus $|r|$ est proche de 1, plus la corrélation linéaire est forte ; $r=-1$ correspondrait à des points parfaitement alignés sur une droite de pente négative ³. On décrit une tendance, pas un mécanisme.

Exercice 7 Corrélation n'est pas causalité

★★☆Environ 8 min

Dans une ville de bord de mer, une étude trouve $r=0{,}92$ entre le nombre de glaces vendues par jour et le nombre de baigneurs secourus par les maîtres nageurs. Un journaliste titre : « Les glaces provoquent des noyades ».

Explique pourquoi ce raisonnement est faux et propose une autre explication.

Indice 1

Cherche une troisième grandeur qui ferait varier à la fois les ventes de glaces et la fréquentation des plages.

Indice 2

Un coefficient élevé mesure-t-il une cause ?

Voir la correction pas à pas

On constate que $r=0{,}92$ est proche de 1 : la liaison linéaire est forte ³.
On rappelle qu'une forte corrélation ne démontre pas une relation de causalité ³.
On cherche une cause commune : la chaleur et le beau temps, qui augmentent à la fois les achats de glaces et le nombre de baigneurs ³.
On conclut que les deux phénomènes sont liés à un troisième, non mesuré ici.

Le journaliste confond corrélation et causalité. Deux phénomènes peuvent être corrélés parce qu'ils dépendent d'une même variable non mesurée ³ ; le tracé d'une droite d'ajustement ne prouve pas non plus un lien de cause à effet ².

Exercice 8 Ajustement après changement de variable

★★★Environ 15 min

Une population de bactéries est observée pendant plusieurs heures. Le nuage des points $(x_i\,;\,y_i)$ ( $x$ en heures, $y$ en milliers de bactéries) est nettement courbe, mais le nuage des points $(x_i\,;\,z_i)$ avec $z=\ln y$ est presque aligné. Un ajustement affine par moindres carrés donne $z=0{,}5x+2$ .

Pourquoi le changement de variable $z=\ln y$ est-il utile ?
Déduis une estimation de $y$ pour $x=4$ heures (arrondie au millième).

Indice 1

Le programme prévoit des ajustements qui se ramènent à un ajustement affine par changement de variable ¹.

Indice 2

Si $z=\ln y$ , alors $y=e^{z}$ .

Voir la correction pas à pas

Le nuage $(x\,;\,y)$ n'est pas aligné, mais le nuage $(x\,;\,z)$ l'est : on se ramène à un ajustement affine ¹.
On calcule $z$ pour $x=4$ : $z=0{,}5\times 4+2=4$ .
On revient à $y$ : $y=e^{4}\approx 54{,}598$ .

Le modèle prévoit environ 54,598 milliers de bactéries à 4 heures. Le changement de variable a transformé un problème non linéaire en problème affine. Comme pour toute prévision, il faut rester près des données observées ².

Exercice 9 Quelle valeur de x pour atteindre un objectif ?

★★★Environ 10 min

Un lycée relève le nombre $x$ d'heures de révision hebdomadaires de ses élèves de Terminale et leur note $y$ sur 100 à un test commun. L'ajustement affine donne $y=0{,}8x+12$ pour $x$ compris entre 2 et 20.

Pour quelle valeur de $x$ la droite donne-t-elle $y=40$ ?
Cette valeur est-elle à retenir pour conseiller un élève ? Justifie.

Indice 1

Résous l'équation $0{,}8x+12=40$ .

Indice 2

Compare le résultat à l'intervalle des données observées.

Voir la correction pas à pas

On pose l'équation $0{,}8x+12=40$ .
On isole : $0{,}8x=28$ , donc $x=\dfrac{28}{0{,}8}=35$ .
On compare à l'intervalle d'étude : $35>20$ , hors des données.
On conclut sur la prudence : le comportement au-delà des frontières de l'étude peut ne plus être affine ².

La droite atteint 40 pour $x=35$ heures par semaine, ce qui sort largement de l'intervalle étudié, donc cette valeur ne doit pas servir de conseil : l'extrapolation doit rester proche du nuage de points ². Une corrélation, même forte, n'établit pas non plus que travailler davantage cause à elle seule une meilleure note ³.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si un ajustement affine est légitime ?

Observe d'abord le nuage : il doit avoir une forme allongée. Ensuite, regarde $r$ : plus sa valeur absolue est proche de 1, plus la corrélation linéaire est forte ³. Un $r$ proche de 0 indique l'absence de liaison linéaire, mais pas forcément l'absence de toute liaison : les variables peuvent être liées de façon non linéaire, par exemple exponentielle ³. Dans ce cas, un changement de variable peut ramener à un ajustement affine ¹.

Pourquoi ne pas faire de prévision loin des données ?

Parce que la droite décrit seulement ce qui s'est passé dans la zone étudiée. Au-delà, le comportement des deux variables peut ne plus être affine ². On limite donc les extrapolations au voisinage proche du nuage de points, et on privilégie l'interpolation entre deux mesures ².

Un coefficient de corrélation de 0,95 prouve-t-il que l'une des variables cause l'autre ?

Non. Deux variables fortement corrélées peuvent être liées à une même troisième variable non mesurée, sans que l'une influence l'autre ³. Le tracé d'une droite d'ajustement n'induit pas non plus de relation de cause à effet ². À l'écrit, ta conclusion doit donc parler de liaison ou de tendance, pas de cause.

Sources

Ressources pédagogiques Éduscol - Mathématiques (document PDF), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ajustement affine, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Corrélation (statistiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Prévoir avec une droite donnée

Exercice 2 Calculer un coefficient de corrélation

Exercice 3 Résidus et somme des carrés

Exercice 4 Comparer deux droites

Exercice 5 Interpoler et se méfier du reste

Exercice 6 Interpréter un coefficient négatif

Exercice 7 Corrélation n'est pas causalité

Exercice 8 Ajustement après changement de variable

Exercice 9 Quelle valeur de x pour atteindre un objectif ?

Les questions qu'on se pose

Sources

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Supérieur