Mathématiques complémentaires (option) · Terminale
Quiz : statistiques à deux variables et ajustement affine (Tle)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un ajustement affine cherche la droite qui approche au mieux un nuage de points 2.
- La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des erreurs commises 3.
- Le coefficient de corrélation linéaire r a une valeur absolue comprise entre 0 et 1 ; il vaut 1 ou −1 quand une variable est une fonction affine de l'autre 3.
- Une forte corrélation ne prouve pas une relation de cause à effet 3, et l'extrapolation doit rester près du nuage 2.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur les séries statistiques à deux variables et sur l'ajustement affine, tels qu'on les rencontre en option de mathématiques complémentaires en Terminale. Le programme demande de manipuler l'ajustement affine, la droite des moindres carrés et le coefficient de corrélation, et de savoir se ramener à un ajustement affine par un changement de variable 1.
Les questions couvrent la définition de l'ajustement, le point moyen, la droite des moindres carrés, la lecture du coefficient de corrélation, les calculs de prévision et, surtout, les limites de la méthode : corrélation n'est pas causalité, et une droite n'a pas de valeur partout. Réponds d'abord sans notes, puis lis chaque explication, même quand ta réponse est juste : c'est là que se trouvent les raisons et les pièges.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Un ajustement affine consiste à déterminer une droite qui approche au mieux un nuage de points dans le plan 2. La réponse « courbe passant par tous les points » est tentante, mais une droite d'ajustement ne passe en général pas par tous les points : elle résume la tendance, avec des écarts. Quant à « démontrer une dépendance », c'est exactement ce qu'un ajustement ne fait pas : tracer une droite n'implique aucune relation de cause à effet 2.
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Pour la méthode des moindres carrés, on cherche la droite qui rend la somme des erreurs au carré la plus petite possible 3. Sans le carré, les écarts positifs et négatifs se compenseraient et la somme ne mesurerait plus la qualité de l'ajustement : c'est l'erreur tentante de la première proposition. Les deux dernières propositions décrivent d'autres façons d'obtenir une droite, qui reposent par exemple sur une segmentation des valeurs, pas sur ce critère 2.
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Le point moyen a pour coordonnées les moyennes des deux variables. On additionne les ordonnées : , puis on divise par l'effectif 5 : . L'erreur fréquente consiste à diviser par 4 (nombre d'intervalles) ou à calculer la moyenne de () au lieu de celle de .
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Faux. La valeur absolue du coefficient de corrélation est toujours comprise entre 0 et 1 3, donc appartient à l'intervalle . Un nuage très allongé donne un proche de 1, jamais supérieur. Si un calcul aboutit à , c'est qu'il contient une erreur.
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Le cas correspond à une dépendance affine parfaite dans le sens croissant : quand l'une des variables augmente, l'autre augmente selon une loi affine exacte. Le cas est le même phénomène dans le sens décroissant 3. La troisième proposition confond donc les deux signes. La quatrième confond corrélation et causalité : même avec , on ne démontre pas qu'une variable provoque l'autre 3. Enfin, l'indépendance correspondrait plutôt à une corrélation nulle, pas à 1.
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Plus est proche de −1 ou de 1, plus la corrélation linéaire est forte 3 : la première affirmation est vraie. Le signe indique si des valeurs hautes d'une variable correspondent en moyenne à des valeurs plus hautes ou plus basses de l'autre 3 : ici, un signe négatif, donc la deuxième affirmation est vraie. La troisième est fausse, car une forte corrélation ne démontre pas une causalité 3. La quatrième est fausse : un négatif correspond à une droite décroissante, donc à un coefficient directeur négatif.
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Faux. Si deux variables sont totalement indépendantes, leur corrélation vaut 0, mais la réciproque est fausse, car le coefficient ne détecte qu'une dépendance linéaire 3. Une corrélation nulle signifie seulement que les variables ne sont pas corrélées linéairement : elles peuvent l'être d'une autre manière, par exemple de façon exponentielle ou sous forme de puissance 3.
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Il arrive que deux grandeurs évoluent ensemble parce qu'elles dépendent toutes les deux d'un facteur qu'on n'a pas mesuré. C'est le cas probable ici : l'ensoleillement agit sur les coups de soleil comme sur les ventes de lunettes, et aucune des deux grandeurs ne commande l'autre 3. Les deux premières réponses sont des conclusions causales que la corrélation seule ne permet pas de tirer. La dernière est absurde : être corrélés ne veut pas dire être identiques.
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Il faut se garder de prolonger la droite loin des données : hors de la zone étudiée, la liaison entre les deux variables peut cesser d'être affine, et la prévision perd alors son sens 2. La troisième réponse confond le domaine de définition de la fonction affine avec le domaine de validité du modèle. La quatrième est trop radicale : la droite de tendance sert bien à prévoir à court terme ou à interpoler entre deux mesures 2.
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On remplace par 8 : . L'erreur classique est d'oublier l'ordonnée à l'origine et de répondre 20, ou d'additionner avant de multiplier : . Rappelle-toi que doit rester proche des valeurs observées pour que cette prévision ait du sens 2.
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Comme la droite passe par , ses coordonnées vérifient l'équation : , soit et donc . L'erreur tentante est de répondre ou , en oubliant que le coefficient directeur multiplie : on doit calculer .
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Le programme prévoit des ajustements qui se ramènent, par un changement de variable, à un ajustement affine 1. Si varie de façon exponentielle, poser transforme la relation en une relation affine entre et , qu'on traite ensuite par moindres carrés. La première proposition ajuste une droite à un nuage qui n'en a pas la forme, ce qui donne un mauvais modèle. La troisième est une manipulation des données, pas une méthode d'ajustement.
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Lorsqu'une droite n'est pas un bon résumé du nuage, les points se retrouvent un peu partout autour du point moyen ; les produits sont tantôt positifs, tantôt négatifs, et leur somme s'annule presque, d'où un petit en valeur absolue 2. Un proche de 1 ou de −1 supposerait que l'essentiel des points se concentre dans deux quadrants opposés par rapport au point moyen 2. Enfin, dépend évidemment de la position des points : il est calculé à partir d'eux.
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L'ajustement affine permet de juger si une relation affine entre deux variables est pertinente et d'en estimer les coefficients. La droite obtenue sert aussi de droite de tendance : on s'en sert pour des prévisions à court terme, ou pour estimer une valeur située entre deux mesures 2. La proposition sur la cause à effet est fausse : le tracé d'une droite n'induit pas qu'il existe une telle relation entre les phénomènes mesurés 2.
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Le coefficient de corrélation linéaire est le quotient de la covariance des deux variables par le produit de leurs écarts types 3. Il fait donc intervenir l'écart type de chacune des variables, ce qui le rend indépendant de l'unité choisie. Les autres propositions mélangent moyennes, variances ou écarts types sans produire une grandeur comprise entre −1 et 1.
Les questions qu'on se pose
Un coefficient de corrélation proche de 1 suffit-il pour conclure que la droite d'ajustement est un bon modèle ?
Non, pas à lui seul. Une valeur de proche de 1 indique une forte corrélation linéaire 3, mais elle ne démontre aucune relation de cause à effet 3, et la droite n'a de valeur que près du nuage de points : au-delà, le comportement des variables peut cesser d'être affine 2. Regarde toujours le nuage lui-même et demande-toi si une forme non affine (exponentielle, puissance) ne serait pas plus naturelle 3.
Que faire quand le nuage de points ne ressemble pas à une droite ?
Observe d'abord la forme du nuage. Si les points suivent une courbe, une corrélation linéaire faible n'exclut pas un lien d'un autre type : une corrélation nulle signifie seulement l'absence de corrélation linéaire 3. Le programme prévoit alors des ajustements qui se ramènent à un ajustement affine par un changement de variable 1, par exemple en posant lorsque la croissance paraît exponentielle, puis en ajustant une droite sur .
Sources
- Ressources pédagogiques Éduscol - Mathématiques (document PDF), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Ajustement affine, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Corrélation (statistiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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