Mathématiques complémentaires (option) · Terminale

Suites arithmético-géométriques : cours de Terminale (option)

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite arithmético-géométrique vérifie $u_{n+1} = a\,u_n + b$ : elle généralise la suite arithmétique ( $a = 1$ ) et la suite géométrique ( $b = 0$ ).
Pour $a \neq 1$ , on cherche le point fixe $\ell = \dfrac{b}{1-a}$ , solution de $\ell = a\ell + b$ .
La suite auxiliaire $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$ : $v_n = v_0\,a^n$ .
On revient à $u_n = a^n\,(u_0 - \ell) + \ell$ , ce qui donne le terme général en fonction de $n$ .
Cette méthode sert pour les populations avec apport fixe et fuite proportionnelle, et pour le capital restant dû d'un emprunt.

Pourquoi une nouvelle famille de suites ?

Tu connais deux modèles de croissance discrète. Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre : c'est le modèle d'une épargne qui reçoit un versement fixe sans aucun intérêt. Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre : c'est le modèle d'une évolution à taux constant, sans aucun apport extérieur.

La réalité mélange souvent les deux. Un compte en banque reçoit des intérêts (une multiplication) et, chaque mois, tu y verses une somme (une addition). Un bassin de poissons perd une part de ses poissons chaque année (une multiplication) mais on y en lâche un nombre fixe (une addition). Un emprunt grossit avec les intérêts (une multiplication) et diminue d'une mensualité (une soustraction).

Le programme de la classe de Terminale en option mathématiques complémentaires fait apparaître ces suites mixtes : on y rencontre les suites arithmético-géométriques et la recherche d'une suite constante pour résoudre une récurrence de ce type ². Cette page t'apprend à les reconnaître, à trouver leur formule explicite et à les utiliser dans des problèmes concrets.

Définition et cas particuliers

Cette définition généralise celle des deux suites que tu connais déjà ³. Pour t'en convaincre, regarde ce qui se passe quand l'un des deux nombres prend une valeur particulière.

Une remarque d'écriture : on peut toujours décaler les indices. Si la suite ne commence qu'au rang $n_0$ , on étudie la suite $v_p = u_{n_0 + p}$ , qui commence au rang $0$ ; la relation affine se conserve ³. Dans la suite de la page, on suppose donc que la suite commence au rang $0$ avec le premier terme $u_0$ donné.

Le point fixe : une suite constante qui résout la récurrence

Pour comprendre une suite arithmético-géométrique, on cherche d'abord si une suite constante peut vérifier la même relation de récurrence. C'est précisément la démarche mentionnée au programme pour une récurrence de ce type ². L'idée est simple : si tous les termes valent le même nombre $\ell$ , alors $u_{n+1} = u_n = \ell$ , et la relation $u_{n+1} = a\,u_n + b$ devient une équation d'inconnue $\ell$ .

La suite auxiliaire et la formule explicite

Le point fixe permet de se ramener à une suite géométrique : l'idée de la preuve consiste à introduire une suite auxiliaire bien choisie ³. Cette suite mesure l'écart entre $u_n$ et la valeur d'équilibre $\ell$ .

Démonstration · Démonstration

On part de la définition de $v_{n+1}$ et on remplace $u_{n+1}$ par $a\,u_n + b$ :

$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a\,u_n + b - \ell.$

Or $\ell$ est le point fixe, donc $\ell = a\ell + b$ , soit $b = \ell - a\ell$ . On remplace $b$ :

$v_{n+1} = a\,u_n + \ell - a\ell - \ell = a\,u_n - a\ell = a\,(u_n - \ell) = a\,v_n.$

Ainsi $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0 = u_0 - \ell$ . Le cours sur les suites géométriques donne $v_n = v_0\,a^n = a^n\,(u_0 - \ell)$ . Comme $u_n = v_n + \ell$ , on obtient la formule annoncée.

Cette formule prolonge une compétence déjà travaillée : écrire en fonction de $n$ le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique ¹. Ici, on l'applique à la suite auxiliaire $(v_n)$ , ce qui t'évite de calculer les termes un par un.

Méthode complète pas à pas

Point fixeRésoudre l = a·l + b, soit l = b/(1 − a)
Suite auxiliairePoser v(n) = u(n) − l
RaisonMontrer que v(n+1) = a·v(n)
Formule de vv(n) = v(0)·a^n avec v(0) = u(0) − l
Retouru(n) = a^n·(u(0) − l) + l, puis contrôle

Déterminer le terme général pas à pas · Le même enchaînement sert pour tous les exercices de ce chapitre.

ExempleExemple complet rédigé

On considère la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 3u_n - 4$ .

Point fixe. On résout $\ell = 3\ell - 4$ , ce qui donne $\ell = 2$ .

Suite auxiliaire. Posons $v_n = u_n - 2$ . Alors

$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = 3u_n - 4 - 2 = 3u_n - 6 = 3\,(u_n - 2) = 3\,v_n.$

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ , avec $v_0 = 5 - 2 = 3$ .

Formule. On a $v_n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$ , donc $u_n = 3^{n+1} + 2$ .

Contrôle. Pour $n = 0$ : $3 + 2 = 5$ , c'est bien $u_0$ . Pour $n = 1$ : $9 + 2 = 11$ , et la relation donne $3 \times 5 - 4 = 11$ . Les deux valeurs coïncident.

ExempleUn cas où le facteur a est inférieur à 1

Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 4$ .

Point fixe : $\ell = \dfrac{4}{1 - 0{,}5} = 8$ . Posons $v_n = u_n - 8$ : on a $v_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 4 - 8 = 0{,}5\,u_n - 4 = 0{,}5\,(u_n - 8) = 0{,}5\,v_n$ . De plus $v_0 = -8$ , donc $v_n = -8 \times 0{,}5^n$ et

$u_n = 8 - 8 \times 0{,}5^n.$

Vérification : $u_1 = 8 - 4 = 4$ , et la relation donne $0{,}5 \times 0 + 4 = 4$ . De même $u_2 = 8 - 2 = 6$ et $0{,}5 \times 4 + 4 = 6$ .

Sens de variation d'une suite arithmético-géométrique

La suite auxiliaire donne aussi le comportement des termes, sans aucun calcul de limite. L'écart à la valeur d'équilibre vérifie $u_n - \ell = a^n\,(u_0 - \ell)$ , et c'est cet écart qui commande tout.

Démonstration · Démonstration

On a $u_{n+1} - \ell = a\,(u_n - \ell)$ d'après l'étude de la suite auxiliaire. Donc

$u_{n+1} - u_n = (u_{n+1} - \ell) - (u_n - \ell) = a\,(u_n - \ell) - (u_n - \ell) = (a - 1)(u_n - \ell).$

On remplace enfin $u_n - \ell$ par $a^n\,(u_0 - \ell)$ .

MéthodeLire le sens de variation

Tout dépend du signe de $(a-1)\,a^n\,(u_0 - \ell)$ .

Si $a$ est strictement compris entre $0$ et $1$ : $a^n$ est positif et $a - 1$ est négatif. Le signe de $u_{n+1} - u_n$ est donc celui de $\ell - u_0$ . Si $u_0$ est inférieur à $\ell$ , la suite est croissante ; si $u_0$ est supérieur à $\ell$ , elle est décroissante.
Si $a$ est supérieur à $1$ : $a^n$ est positif et $a - 1$ aussi. Le signe est celui de $u_0 - \ell$ . Si $u_0$ est supérieur à $\ell$ , la suite est croissante ; si $u_0$ est inférieur à $\ell$ , elle est décroissante.
Si $a$ est négatif : $a^n$ change de signe à chaque rang. La suite n'est donc pas monotone et alterne de part et d'autre de $\ell$ , sauf si $u_0 = \ell$ : elle est alors constante, comme dans tous les cas où $u_0 = \ell$ .

Modéliser une situation concrète

Deux familles de problèmes reviennent sans cesse : l'évolution d'une population qui reçoit un apport fixe tout en perdant une part proportionnelle de son effectif, et les plans de remboursement d'un emprunt ³. Dans les deux cas, la démarche est la même : traduire l'énoncé en relation $u_{n+1} = a\,u_n + b$ , puis appliquer la méthode.

ExemplePopulation avec apport fixe et fuite proportionnelle

Un exemple classique associe un apport de $10$ et une fuite de $5\,\%$ ³. Chaque période, la population perd $5\,\%$ de son effectif, donc il en reste $95\,\%$ , soit un facteur $0{,}95$ ; puis $10$ individus arrivent. La relation est

$u_{n+1} = 0{,}95\,u_n + 10.$

Le point fixe est $\ell = \dfrac{10}{0{,}05} = 200$ . Si l'effectif de départ est $u_0 = 100$ , alors $u_0 - \ell = -100$ et

$u_n = 200 - 100 \times 0{,}95^n.$

Sens de la formule : l'effectif reste toujours en dessous de $200$ et augmente d'une période à l'autre, car l'apport de $10$ l'emporte sur la perte de $5\,\%$ tant que l'effectif est inférieur à $200$ : à ce niveau, la perte vaut exactement $5\,\%$ de $200$ , soit $10$ .

Le second domaine est le remboursement d'un emprunt. Un capital $C$ emprunté à un taux mensuel $t$ et remboursé par des mensualités constantes $M$ donne lieu à un plan de remboursement ; si $R_n$ désigne le capital restant dû après $n$ mensualités, cette suite $(R_n)$ est arithmético-géométrique ³.

ExempleÉtablir la relation du capital restant dû

Après chaque mois, le capital restant dû est multiplié par $1 + t$ (les intérêts s'ajoutent), puis on retire la mensualité $M$ . On a donc

$R_{n+1} = (1 + t)\,R_n - M, \qquad R_0 = C.$

Ici $a = 1 + t$ et $b = -M$ . Le point fixe vaut $\ell = \dfrac{-M}{1 - (1+t)} = \dfrac{M}{t}$ . La formule explicite s'écrit

$R_n = \frac{M}{t} + (1+t)^n\left(C - \frac{M}{t}\right).$

Par exemple, avec $C = 10\,000$ , $t = 0{,}01$ et $M = 500$ : $\ell = 50\,000$ et $R_n = 50\,000 - 40\,000 \times 1{,}01^n$ . Le capital est entièrement remboursé au premier rang $n$ pour lequel $R_n \leq 0$ , ce qui se cherche par la résolution d'une inéquation que tu verras avec les fonctions logarithme.

Récapitulatif et erreurs à éviter

À retenirLes formules à connaître

Pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$ :

Situation	Nature de la suite	Terme général
$a = 1$	arithmétique de raison $b$	$u_n = u_0 + n\,b$
$b = 0$	géométrique de raison $a$	$u_n = u_0\,a^n$
$a \neq 1$	point fixe $\ell = \dfrac{b}{1-a}$ , $v_n = u_n - \ell$ géométrique de raison $a$	$u_n = a^n\,(u_0 - \ell) + \ell$

Attention, erreur fréquenteLes erreurs que l'on voit le plus souvent

Calculer $\ell$ avec un mauvais signe : $\ell = \dfrac{b}{1-a}$ et non $\dfrac{b}{a-1}$ . Vérifie toujours en remplaçant dans $\ell = a\ell + b$ .
Dire que $(u_n)$ est géométrique parce qu'on a trouvé une raison $a$ : c'est $(u_n - \ell)$ qui l'est, pas $(u_n)$ elle-même.
Oublier de démontrer que $v_{n+1} = a\,v_n$ . À l'écrit, c'est cette ligne qui est le cœur de la question.
Prendre pour premier terme $u_0$ dans la formule de $v_n$ au lieu de $v_0 = u_0 - \ell$ .
Décaler l'indice : si la suite commence à $u_1$ , le terme général est $a^{n-1}(u_1 - \ell) + \ell$ , et non $a^n(u_1 - \ell) + \ell$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Terme général et calcul d'un terme

★☆☆Environ 8 min

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 3u_n - 4$ .

Calcule le point fixe $\ell$ de la relation.
Montre que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - \ell$ est géométrique et précise sa raison et son premier terme.
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ , puis calcule $u_5$ .

Indice 1

Résous l'équation $\ell = 3\ell - 4$ .

Indice 2

Calcule $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell$ en remplaçant $u_{n+1}$ par $3u_n - 4$ , puis factorise par $3$ .

Voir la correction pas à pas

Le point fixe vérifie $\ell = 3\ell - 4$ , soit $-2\ell = -4$ , donc $\ell = 2$ .
On écrit $v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = 3u_n - 4 - 2 = 3u_n - 6 = 3\,(u_n - 2) = 3\,v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ .
Son premier terme est $v_0 = u_0 - 2 = 3$ .
On en déduit $v_n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$ , donc $u_n = 3^{n+1} + 2$ .
Pour $n = 5$ : $u_5 = 3^6 + 2 = 729 + 2 = 731$ . Contrôle par récurrence directe : $u_1 = 11$ , $u_2 = 29$ , $u_3 = 83$ , $u_4 = 245$ , $u_5 = 731$ .

La méthode se résume ainsi : point fixe, suite auxiliaire, raison, formule, contrôle sur les premiers termes. Avec la formule, $u_5$ s'obtient en une ligne, sans calculer les termes intermédiaires.

Exercice 2 Population avec apport fixe

★★☆Environ 12 min

Un étang contient $1000$ poissons au début de l'année $0$ . Chaque année, $10\,\%$ des poissons disparaissent (pêche et mortalité), puis on en réintroduit $50$ . On note $u_n$ l'effectif au début de l'année $n$ .

Justifie que $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 50$ .
Détermine le point fixe $\ell$ et interprète-le.
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule l'effectif $u_{10}$ : donne sa valeur approchée à $10^{-3}$ près, puis interprète-la en nombre entier de poissons.

Indice 1

Une baisse de $10\,\%$ multiplie par $1 - 0{,}10$ .

Indice 2

Le point fixe est $\dfrac{b}{1-a}$ avec $a = 0{,}9$ et $b = 50$ .

Voir la correction pas à pas

Une baisse de $10\,\%$ correspond à un facteur $0{,}9$ ; l'ajout de $50$ poissons donne ensuite $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 50$ .
Le point fixe vérifie $\ell = 0{,}9\ell + 50$ , donc $0{,}1\,\ell = 50$ et $\ell = 500$ . C'est l'effectif pour lequel les $50$ poissons réintroduits compensent exactement les $10\,\%$ perdus, soit $50$ .
La suite $v_n = u_n - 500$ est géométrique de raison $0{,}9$ avec $v_0 = 1000 - 500 = 500$ , d'où $v_n = 500 \times 0{,}9^n$ .
On en déduit $u_n = 500 \times 0{,}9^n + 500$ .
Pour $n = 10$ : $0{,}9^{10} \approx 0{,}34868$ , donc $u_{10} = 500 \times 0{,}34868 + 500 \approx 674{,}339$ . L'effectif est d'environ $674$ poissons.

L'effectif part de $1000$ , supérieur au point fixe $500$ : la suite est décroissante, car $a$ est inférieur à $1$ et $u_0$ supérieur à $\ell$ . Le résultat reste au-dessus de $500$ , ce qui est cohérent avec la formule : $500 \times 0{,}9^n$ est toujours positif.

Exercice 3 Capital restant dû d'un emprunt

★★★Environ 15 min

On emprunte $10\,000$ euros. Le taux mensuel est de $1\,\%$ et on rembourse une mensualité de $500$ euros à la fin de chaque mois. On note $R_n$ le capital restant dû après $n$ mensualités, avec $R_0 = 10\,000$ .

Établis la relation de récurrence vérifiée par $R_n$ .
Détermine le point fixe, puis exprime $R_n$ en fonction de $n$ .
Calcule le capital restant dû après $12$ mensualités, arrondi au millième d'euro.
Vérifie que ta formule donne bien $R_1$ en la comparant au calcul direct.

Indice 1

Chaque mois, le capital est multiplié par $1{,}01$ , puis on retranche $500$ .

Indice 2

Le point fixe est $\dfrac{-500}{1 - 1{,}01}$ ; attention aux signes.

Voir la correction pas à pas

Chaque mois, les intérêts multiplient le capital par $1{,}01$ , puis la mensualité retire $500$ : $R_{n+1} = 1{,}01\,R_n - 500$ .
Le point fixe vérifie $\ell = 1{,}01\,\ell - 500$ , donc $-0{,}01\,\ell = -500$ et $\ell = 50\,000$ .
La suite $v_n = R_n - 50\,000$ est géométrique de raison $1{,}01$ avec $v_0 = 10\,000 - 50\,000 = -40\,000$ , donc $v_n = -40\,000 \times 1{,}01^n$ .
On en déduit $R_n = 50\,000 - 40\,000 \times 1{,}01^n$ .
Pour $n = 12$ : $1{,}01^{12} \approx 1{,}126825$ , donc $R_{12} \approx 50\,000 - 45\,073{,}001 = 4\,926{,}999$ euros.
Contrôle de $R_1$ : la formule donne $50\,000 - 40\,000 \times 1{,}01 = 50\,000 - 40\,400 = 9\,600$ ; le calcul direct donne $1{,}01 \times 10\,000 - 500 = 9\,600$ . Les deux résultats sont égaux.

Le capital restant dû diminue un peu plus chaque mois, car la part d'intérêts baisse alors que la mensualité reste fixe. Le point fixe $50\,000$ n'est jamais atteint dans cette situation : il correspond à un capital pour lequel la mensualité de $500$ ne couvrirait que les intérêts mensuels.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois chercher un point fixe ?

Regarde la valeur de $a$ dans $u_{n+1} = a\,u_n + b$ . Si $a = 1$ , la suite est arithmétique ³ : pas de point fixe, tu utilises $u_n = u_0 + nb$ . Si $b = 0$ , elle est géométrique ³ : tu utilises $u_n = u_0\,a^n$ . Dans tous les autres cas, le point fixe $\ell = \dfrac{b}{1-a}$ te ramène à une suite géométrique.

Pourquoi pose-t-on $v_n = u_n - \ell$ et pas autre chose ?

Parce que c'est ce choix qui fait disparaître la constante $b$ . On obtient $v_{n+1} = a\,v_n$ , une relation sans terme constant, donc géométrique. La preuve passe par une suite auxiliaire pour se ramener à une suite géométrique ³. Si tu poses $v_n = u_n + c$ avec un nombre $c$ différent de $-\ell$ , la constante ne s'annule pas et tu n'obtiens pas de suite géométrique.

Le point fixe est-il toujours atteint par la suite ?

Non. Le point fixe n'est atteint que si $u_0 = \ell$ . Sinon, $u_n - \ell = a^n\,(u_0 - \ell)$ ne s'annule jamais pour $a \neq 0$ . Le point fixe sert de repère : il indique la valeur d'équilibre autour de laquelle se comporte la suite, et ce que deviennent les termes pour de grandes valeurs de $n$ sera étudié avec les limites.

Comment gérer une suite qui commence à $u_1$ et non à $u_0$ ?

Tu peux décaler l'indice en posant $w_p = u_{p+1}$ , qui est arithmético-géométrique ³ et commence au rang $0$ . Plus simple : garde la formule générale en remplaçant $n$ par $n - 1$ , soit $u_n = a^{n-1}(u_1 - \ell) + \ell$ . Contrôle toujours avec le premier terme.

À quoi servent ces suites dans la vie courante ?

Elles modélisent les situations où une grandeur évolue d'un pourcentage et reçoit en plus un ajout ou un retrait fixe : population avec apport fixe et fuite proportionnelle, plan de remboursement d'un emprunt par mensualités ³. Ce sont des problèmes contextualisés : le programme demande de savoir reconnaître une situation qui se modélise par une suite ¹.

Que faire si l'énoncé ne donne pas $a$ et $b$ directement ?

Traduis d'abord l'énoncé en relation entre deux termes consécutifs : la partie proportionnelle (un taux) donne $a$ , la partie fixe (un apport ou une mensualité) donne $b$ . Développe ensuite l'expression pour la mettre sous la forme $a\,u_n + b$ , puis contrôle avec les deux premiers termes calculés à la main.

Sources

Ressources pédagogiques Éduscol — Suites numériques, Éduscol (eduscol.education.fr). Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol — Analyse et équations différentielles, Éduscol (eduscol.education.fr). Consulté le 6 novembre 2026.
Suite arithmético-géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Moyenne arithmético-géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Suites arithmético-géométriques : cours de Terminale (option)

L'essentiel

Pourquoi une nouvelle famille de suites ?

Définition et cas particuliers

Le point fixe : une suite constante qui résout la récurrence

La suite auxiliaire et la formule explicite

Méthode complète pas à pas

Sens de variation d'une suite arithmético-géométrique

Modéliser une situation concrète

Récapitulatif et erreurs à éviter

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