Suites arithmético-géométriques : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une suite arithmético-géométrique vérifie une relation affine un+1=aun+b : elle généralise les suites arithmétiques (a=1) et géométriques (b=0).
Méthode : résoudre ℓ=aℓ+b pour trouver la valeur constante ℓ, puis poser vn=un−ℓ.
La suite (vn) est géométrique de raison a, donc un=an(u0−ℓ)+ℓ pour a=1.
Ces suites modélisent un apport fixe avec une perte proportionnelle, ou un remboursement par mensualités constantes.
Reconnaître une suite arithmético-géométrique
La méthode du point fixe
Démonstration · Pourquoi $(v_n)$ est géométrique
On a ℓ=aℓ+b. Alors, pour tout n :
vn+1=un+1−ℓ=aun+b−(aℓ+b)=a(un−ℓ)=avn.
La suite (vn) est donc géométrique de raison a, et vn=anv0=an(u0−ℓ).
Exemples rédigés
À quoi ça sert : modéliser
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On résout ℓ=3ℓ−4, soit 2ℓ=4 et ℓ=2. La réponse ℓ=−2 vient d'une erreur de signe en passant 3ℓ de l'autre côté ; ℓ=4 revient à prendre −b sans diviser par 1−a=−2.
On a vn+1=avn : la raison est a, le coefficient devant un. Elle n'est pas arithmétique, puisqu'on multiplie. La raison n'est pas b : le terme b disparaît dans la soustraction de ℓ.
Avec b=0, la relation devient un+1=aun, qui définit une suite géométrique de raison a. Penser que « arithmético-géométrique » exclut ce cas est faux : les deux types connus en sont des cas particuliers.
u1=0,5×2+3=4, puis u2=0,5×4+3=5. Écrire 0,5×(4+3)=3,5 est l'erreur tentante : on multiplie u1 seul, puis on ajoute 3.
Les questions qu'on se pose
Que faire si $a=1$ ?
Dans ce cas la suite est arithmétique de raison b, car un+1=un+b. 3 Il n'y a pas de point fixe à chercher (sauf si b=0, la suite est alors constante), et on utilise directement un=u0+nb.
Comment savoir quelle suite auxiliaire poser à l'examen ?
L'énoncé la donne souvent, sous la forme vn=un−ℓ avec ℓ à déterminer. Sinon, cherche la valeur constante en résolvant ℓ=aℓ+b : c'est le réflexe attendu pour une récurrence de ce type. 2 Montre ensuite que vn+1=avn pour prouver que (vn) est géométrique.
Pourquoi ne peut-on pas appliquer directement la formule d'une suite géométrique à $(u_n)$ ?
Parce que le rapport unun+1 n'est pas constant à cause de l'ajout de b. Par exemple, avec un+1=2un−3 et u0=5, on trouve u1=7 puis u2=11 : les rapports 57 et 711 diffèrent. Seule la suite décalée un−ℓ est géométrique.