Suites arithmético-géométriques : quiz de Terminale

Quiz

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1. Quelle relation de récurrence définit une suite arithmético-géométrique ?

   $u_{n+1}=u_n+b$$u_{n+1}=a\,u_n$$u_{n+1}=a\,u_n+b$$u_{n+1}=u_n^2+b$
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2. Si $a=1$, la suite définie par $u_{n+1}=a\,u_n+b$ est arithmétique.

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3. Si $b=0$, la suite définie par $u_{n+1}=a\,u_n+b$ est géométrique.

   VraiFaux
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4. On donne $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+3$. Calcule $u_2$.

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5. On considère $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$. Quelle est la valeur de la suite constante $\ell$ qui vérifie la même relation, c'est-à-dire $\ell=0{,}5\,\ell+3$ ?

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6. Soit $u_{n+1}=a\,u_n+b$ avec $a\neq 1$ et $\ell=\dfrac{b}{1-a}$. La suite $v_n=u_n-\ell$ est géométrique. Quelle est sa raison ?

   $a$$\ell$$b$$1-a$
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7. On donne $u_0=20$ et $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+10$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?

   $u_n=50-30\times 0{,}8^n$$u_n=50+30\times 0{,}8^n$$u_n=20\times 0{,}8^n+10$$u_n=-30\times 0{,}8^n$
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8. Avec $u_0=20$ et $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+10$, calcule $u_3$ (arrondi au centième si besoin).

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9. Pourquoi la méthode $\ell=\dfrac{b}{1-a}$ ne s'applique-t-elle pas lorsque $a=1$ et $b\neq 0$ ?

   Parce que l'équation $\ell=\ell+b$ n'a aucune solutionParce que la suite n'a alors aucun terme définiParce que la suite devient géométrique de raison 0Parce que $\ell$ vaudrait alors toujours $b$
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10. Parmi ces suites, lesquelles sont arithmético-géométriques au sens de la définition (c'est-à-dire de la forme $u_{n+1}=a\,u_n+b$) ?

    Plusieurs réponses possibles.

    $u_{n+1}=4u_n-1$$u_{n+1}=u_n+7$$u_{n+1}=5u_n$$u_{n+1}=u_n^2+1$
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11. Une population reçoit un apport fixe de 10 individus par période, et 5 % de la population disparaît à chaque période. Quelle relation modélise cette situation ?

    $u_{n+1}=0{,}95\,u_n+10$$u_{n+1}=0{,}05\,u_n+10$$u_{n+1}=1{,}05\,u_n+10$$u_{n+1}=0{,}95\,(u_n+10)$
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12. Pour la population de la question précédente, $u_{n+1}=0{,}95\,u_n+10$, quelle est la valeur de la suite constante $\ell$ (valeur d'équilibre) ?

    Ta réponse individus
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13. Un capital $R_n$ restant dû est augmenté chaque mois d'un taux $t$ puis diminué d'une mensualité $M$. Quelle relation relie $R_{n+1}$ à $R_n$ ?

    $R_{n+1}=(1+t)\,R_n-M$$R_{n+1}=t\,R_n-M$$R_{n+1}=(1+t)\,(R_n-M)$$R_{n+1}=R_n-M$
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14. Un capital restant dû vaut $R_0=1000$ euros. Chaque mois il augmente de 1 % puis on rembourse 100 euros, soit $R_{n+1}=1{,}01\,R_n-100$. Calcule $R_2$ (en euros).

    Ta réponse euros
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15. Si $0<a<1$, la suite $(v_n)=(a^n\,v_0)$ tend vers 0, donc la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\ell+v_n$ se rapproche de $\ell$.

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