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Dérivation et convexité

• Une fonction est convexe sur un intervalle quand sa courbe reste sous toutes ses cordes ; elle est concave quand elle reste au-dessus.
• Si $f$ est dérivable, elle est convexe sur $I$ exactement quand $f'$ est croissante sur $I$ ; si $f$ est deux fois dérivable, c'est équivalent à $f''\geq 0$ sur $I$.
• Une fonction convexe et dérivable a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes.
• Méthode : dériver deux fois, étudier le signe de $f''$, conclure sur chaque intervalle ; un changement de signe de $f''$ donne un point d'inflexion.