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Suites arithmético-géométriques : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite arithmético-géométrique vérifie $u_{n+1}=a\,u_n+b$ ; pour $a=1$ elle est arithmétique, pour $b=0$ elle est géométrique.³
Pour $a\neq 1$ , on cherche le réel $\ell$ tel que $\ell=a\ell+b$ , soit $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
La suite auxiliaire $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ : $v_n=a^n\,v_0$ .
On revient à la suite de départ avec $u_n=a^n(u_0-\ell)+\ell$ .
Ce modèle sert pour une population avec apport fixe et fuite proportionnelle, et pour un plan de remboursement.³

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'enchaînent du plus direct au plus modélisé. Pour en tirer le maximum, cherche d'abord seul(e) sur une feuille, ouvre un indice seulement si tu es bloqué(e), puis compare ta rédaction à la correction. Avant de commencer, rappelle-toi d'où vient l'objet étudié : une suite est dite arithmético-géométrique lorsqu'elle suit une relation de récurrence affine $u_{n+1}=a\,u_n+b$ , ce qui généralise les suites arithmétiques et les suites géométriques.³ Le cas $a=1$ redonne une suite arithmétique, et le cas $b=0$ une suite géométrique.³

MéthodeLa méthode du réel fixe et de la suite auxiliaire

On suppose $a\neq 1$ et $b\neq 0$ .

Écrire la relation $u_{n+1}=a\,u_n+b$ et repérer $a$ et $b$ .
Chercher le réel fixe $\ell$ : c'est la valeur constante qui vérifie $\ell=a\ell+b$ , donc $\ell=\frac{b}{1-a}$ . Chercher une suite constante est justement la démarche indiquée pour une récurrence de ce type.²
Poser la suite auxiliaire $v_n=u_n-\ell$ et montrer que $v_{n+1}=a\,v_n$ . En soustrayant $\ell=a\ell+b$ à $u_{n+1}=a u_n+b$ , le terme $b$ disparaît.
Conclure : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ , donc $v_n=a^n\,v_0$ .
Revenir à $u_n$ : $u_n=a^n(u_0-\ell)+\ell$ .

La preuve consiste bien à se ramener à une suite géométrique grâce à une suite auxiliaire.³

Les exercices

Exercice 1 Un premier terme éloigné

★☆☆Environ 6 min

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=3u_n-4$ .

Détermine le réel $\ell$ tel que $\ell=3\ell-4$ .
On pose $v_n=u_n-\ell$ . Montre que $(v_n)$ est géométrique et précise sa raison et son premier terme.
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ , puis calcule $u_3$ .

Indice 1

Résous l'équation $\ell=3\ell-4$ comme une équation du premier degré.

Indice 2

Calcule $v_{n+1}=u_{n+1}-\ell$ en remplaçant $u_{n+1}$ par $3u_n-4$ , puis factorise par 3.

Voir la correction pas à pas

On résout $\ell=3\ell-4$ : $2\ell=4$ , donc $\ell=2$ .
On écrit $v_{n+1}=u_{n+1}-2=3u_n-4-2=3u_n-6$ .
On factorise : $v_{n+1}=3(u_n-2)=3v_n$ . La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 3.
Son premier terme vaut $v_0=u_0-2=5-2=3$ .
On en déduit $v_n=3\times 3^n=3^{n+1}$ puis $u_n=v_n+2=3^{n+1}+2$ .
Pour $n=3$ : $u_3=3\times 3^3+2$ si l'on garde la forme $a^n(u_0-\ell)+\ell$ , soit $81+2=83$ . Vérification directe : $u_1=11$ , $u_2=29$ , $u_3=83$ .

On a $u_n=3^n(5-2)+2=3^{n+1}+2$ , car $3^n\times 3=3^{n+1}$ . Le résultat $u_3=83$ est confirmé par le calcul de proche en proche. Le contrôle sur $n=0$ donne $3+2=5=u_0$ : la formule est cohérente.

Exercice 2 Une raison inférieure à 1

★☆☆Environ 6 min

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ .

Trouve le réel $\ell$ vérifiant $\ell=0{,}5\ell+3$ .
Donne l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule $u_4$ .

Indice 1

Pour $\ell=0{,}5\ell+3$ , regroupe les termes en $\ell$ du même côté.

Indice 2

La suite auxiliaire $v_n=u_n-\ell$ a pour raison $0{,}5$ et pour premier terme $u_0-\ell$ .

Voir la correction pas à pas

On résout $\ell=0{,}5\ell+3$ : $0{,}5\ell=3$ , donc $\ell=6$ .
On pose $v_n=u_n-6$ ; on obtient $v_{n+1}=0{,}5u_n+3-6=0{,}5u_n-3=0{,}5(u_n-6)=0{,}5v_n$ .
Le premier terme est $v_0=1-6=-5$ , donc $v_n=-5\times 0{,}5^n$ .
On revient à $u_n=6-5\times 0{,}5^n$ .
On calcule pour $n=4$ : $0{,}5^4=\frac{1}{16}$ , donc $u_4=6-\frac{5}{16}=\frac{91}{16}=5{,}6875$ .

Ici la raison $0{,}5$ est comprise entre 0 et 1 : les termes se rapprochent peu à peu de $\ell=6$ en restant en dessous. Tu l'observes sur les premiers termes : $u_0=1$ , $u_1=3{,}5$ , $u_2=4{,}75$ . Le contrôle $u_1=0{,}5\times 1+3=3{,}5$ est bien retrouvé par la formule $6-5\times 0{,}5=3{,}5$ .

Exercice 3 Une raison négative

★☆☆Environ 8 min

On définit $(u_n)$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=-2u_n+9$ .

Détermine le réel $\ell$ tel que $\ell=-2\ell+9$ .
Montre que $v_n=u_n-\ell$ est géométrique et exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule $u_5$ avec la formule, puis vérifie en calculant les termes de proche en proche.

Indice 1

Attention aux signes : $\ell=-2\ell+9$ donne $3\ell=9$ .

Indice 2

Une raison négative fait alterner les signes de $v_n$ ; écris soigneusement $(-2)^n$ avec des parenthèses.

Voir la correction pas à pas

On résout $\ell=-2\ell+9$ : $3\ell=9$ , donc $\ell=3$ .
On calcule $v_{n+1}=u_{n+1}-3=-2u_n+6=-2(u_n-3)=-2v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-2$ .
Le premier terme est $v_0=0-3=-3$ , donc $v_n=-3\times(-2)^n$ .
On obtient $u_n=3-3\times(-2)^n$ .
Pour $n=5$ : $(-2)^5=-32$ , donc $u_5=3-3\times(-32)=3+96=99$ .
Vérification de proche en proche : $u_1=9$ , $u_2=-9$ , $u_3=27$ , $u_4=-45$ , $u_5=99$ .

Les deux méthodes donnent 99. Remarque que la suite oscille : elle est tantôt au-dessus, tantôt en dessous de $\ell=3$ , car la raison est négative. Les parenthèses sont indispensables : pour un exposant pair, $-2^4=-16$ alors que $(-2)^4=16$ , ce qui fausserait par exemple $u_4$ .

Exercice 4 Un étang qui se repeuple

★★☆Environ 12 min

Un étang contient 200 poissons au départ. Chaque année, 10 % des poissons présents disparaissent, puis on en introduit 30 nouveaux. On note $u_n$ le nombre de poissons après $n$ années, avec $u_0=200$ (on accepte des valeurs non entières pour simplifier).

Justifie que $u_{n+1}=0{,}9\,u_n+30$ .
Détermine le réel $\ell$ vérifiant $\ell=0{,}9\ell+30$ , puis exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule $u_{10}$ à $10^{-2}$ près.

Indice 1

Perdre 10 % revient à multiplier par $0{,}9$ ; l'apport de 30 s'ajoute ensuite.

Indice 2

Avec $\ell=300$ , le premier terme de la suite auxiliaire est $200-300$ .

Voir la correction pas à pas

Après la perte de 10 %, il reste $0{,}9\,u_n$ poissons ; l'ajout de 30 donne $u_{n+1}=0{,}9u_n+30$ . C'est le modèle d'un apport fixe et d'une fuite proportionnelle.³
On résout $\ell=0{,}9\ell+30$ : $0{,}1\ell=30$ , donc $\ell=300$ .
On pose $v_n=u_n-300$ ; alors $v_{n+1}=0{,}9u_n+30-300=0{,}9(u_n-300)=0{,}9v_n$ .
Le premier terme est $v_0=200-300=-100$ , donc $v_n=-100\times 0{,}9^n$ .
On revient à la suite de départ : $u_n=300-100\times 0{,}9^n$ .
On calcule $0{,}9^{10}\approx 0{,}348678$ , donc $u_{10}\approx 300-34{,}8678=265{,}13$ .

Après dix ans, l'étang compte environ 265 poissons. Le contrôle sur $n=1$ donne $300-90=210$ , ce qui correspond bien à $0{,}9\times 200+30=210$ . L'effectif augmente chaque année tout en restant sous 300.

Exercice 5 Quand l'étang dépasse un seuil

★★☆Environ 12 min

On reprend l'étang de l'exercice précédent, dont l'effectif vérifie $u_n=300-100\times 0{,}9^n$ .

Détermine le plus petit entier $n$ tel que $u_n>250$ .

Indice 1

Isole $0{,}9^n$ : l'inégalité devient $0{,}9^n<0{,}5$ .

Indice 2

Teste des valeurs de $n$ à la calculatrice, ou utilise le logarithme népérien en pensant que $\ln(0{,}9)<0$ renverse le sens de l'inégalité.

Voir la correction pas à pas

On écrit l'inégalité $300-100\times 0{,}9^n>250$ .
On isole la puissance : $100\times 0{,}9^n<50$ , donc $0{,}9^n<0{,}5$ .
On cherche le premier entier qui convient en calculant : $0{,}9^6\approx 0{,}531$ (trop grand) et $0{,}9^7\approx 0{,}478$ (convient).
Comme $0{,}9^n$ diminue quand $n$ augmente, toutes les valeurs suivantes conviennent aussi.
Par le logarithme : $n\ln(0{,}9)<\ln(0{,}5)$ , donc $n>\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}\approx 6{,}58$ , ce qui confirme $n=7$ .

Le seuil de 250 poissons est dépassé à partir de la septième année. Une erreur courante consiste à garder le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}9)$ , qui est négatif : on trouverait alors $n<6{,}58$ et un résultat absurde.

Exercice 6 Remonter le temps

★★☆Environ 10 min

Une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+1}=4u_n-6$ pour tout $n$ , et on sait que $u_2=10$ .

Calcule $u_1$ puis $u_0$ sans utiliser de formule générale.
Détermine ensuite le réel $\ell$ de la suite et vérifie que $u_0$ s'exprime bien avec la formule $u_n=4^n(u_0-\ell)+\ell$ .

Indice 1

On remonte la relation : si $u_2=4u_1-6$ , alors $u_1=\frac{u_2+6}{4}$ .

Indice 2

Ici $\ell=\frac{b}{1-a}=\frac{-6}{-3}$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $u_2=4u_1-6=10$ , donc $4u_1=16$ et $u_1=4$ .
On recommence : $u_1=4u_0-6=4$ , donc $4u_0=10$ et $u_0=2{,}5$ .
On cherche $\ell$ : $\ell=4\ell-6$ donne $3\ell=6$ , donc $\ell=2$ .
On teste la formule en $n=2$ : $4^2(2{,}5-2)+2=16\times 0{,}5+2=10$ , ce qui est bien $u_2$ .

On a $u_0=2{,}5$ . Remonter une récurrence se fait en inversant l'opération : on ajoute 6 puis on divise par 4, dans cet ordre. La vérification avec la formule générale confirme ce résultat.

Exercice 7 Rembourser un prêt

★★★Environ 15 min

Une personne emprunte 10 000 euros. Le taux mensuel est de 1 %, et elle verse chaque mois 500 euros. On note $R_n$ le capital restant dû après $n$ mensualités, avec $R_0=10\,000$ . Chaque mois, le capital est multiplié par $1{,}01$ , puis la mensualité est retirée.

Écris la relation entre $R_{n+1}$ et $R_n$ et reconnais le type de suite.
Détermine le réel $\ell$ tel que $\ell=1{,}01\ell-500$ .
Exprime $R_n$ en fonction de $n$ et calcule le capital restant dû après 12 mensualités, à $10^{-2}$ euro près.

Indice 1

La relation est $R_{n+1}=1{,}01R_n-500$ : ici $a=1{,}01$ et $b=-500$ .

Indice 2

Dans $\ell=1{,}01\ell-500$ , on trouve $0{,}01\ell=500$ .

Voir la correction pas à pas

Le capital est augmenté de 1 % puis diminué de la mensualité : $R_{n+1}=1{,}01R_n-500$ . C'est une relation affine, donc la suite est arithmético-géométrique, comme dans un plan de remboursement.³
On résout $\ell=1{,}01\ell-500$ : $0{,}01\ell=500$ , donc $\ell=50\,000$ .
On pose $v_n=R_n-50\,000$ ; alors $v_{n+1}=1{,}01R_n-500-50\,000=1{,}01(R_n-50\,000)=1{,}01v_n$ .
Le premier terme est $v_0=10\,000-50\,000=-40\,000$ , donc $v_n=-40\,000\times 1{,}01^n$ .
On revient à $R_n=50\,000-40\,000\times 1{,}01^n$ .
Pour $n=12$ : $1{,}01^{12}\approx 1{,}126825$ , donc $R_{12}\approx 50\,000-45\,073{,}00=4\,927{,}00$ euros.

Après un an, il reste environ 4 927 euros à rembourser. Contrôle sur $n=1$ : la formule donne $50\,000-40\,400=9\,600$ , et le calcul direct $1{,}01\times 10\,000-500=9\,600$ concorde. Le réel $\ell=50\,000$ n'a pas de sens bancaire ici : c'est un outil de calcul, pas une valeur du capital.

Exercice 8 Somme des premiers termes

★★★Environ 15 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+1$ .

Détermine $\ell$ puis montre que $v_n=u_n-\ell$ est géométrique.
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule la somme $S=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5$ en utilisant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

Indice 1

L'équation $\ell=2\ell+1$ donne un réel négatif ; la suite auxiliaire est $v_n=u_n+1$ .

Indice 2

Comme $u_k=v_k+\ell$ , la somme des $u_k$ vaut la somme des $v_k$ plus $6\times\ell$ ; ici $\ell=-1$ , donc on retranche 6.

Voir la correction pas à pas

On résout $\ell=2\ell+1$ : $\ell=-1$ .
On pose $v_n=u_n+1$ ; alors $v_{n+1}=2u_n+2=2v_n$ . La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 2, avec $v_0=2$ .
On obtient $v_n=2\times 2^n=2^{n+1}$ , donc $u_n=2^{n+1}-1$ .
On écrit $S=\sum_{k=0}^{5}(v_k-1)=\sum_{k=0}^{5}v_k-6$ .
La somme géométrique vaut $v_0\times\frac{1-2^6}{1-2}=2\times 63=126$ , formule qui fait partie du programme.¹
On conclut : $S=126-6=120$ . Vérification : $1+3+7+15+31+63=120$ .

La somme vaut 120. L'astuce est de passer par la suite auxiliaire : la somme des $u_k$ devient une somme géométrique, qu'on sait calculer, à laquelle on ajoute $\ell$ autant de fois qu'il y a de termes (ici $\ell=-1$ , donc on retranche 6). Ici il y en a 6 car l'indice va de 0 à 5.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une suite est arithmético-géométrique ?

Regarde si chaque terme s'obtient à partir du précédent par une relation de la forme $u_{n+1}=a\,u_n+b$ , avec deux réels $a$ et $b$ fixes.³ Si $a=1$ , la suite est arithmétique ; si $b=0$ , elle est géométrique.³ Dans tous les autres cas, on utilise la méthode du réel fixe et de la suite auxiliaire. Si le coefficient devant $u_n$ change avec $n$ , ou si $b$ dépend de $n$ , la suite n'est pas de ce type.

Pourquoi faut-il poser $v_n=u_n-\ell$ et pas autre chose ?

Parce que ce choix fait disparaître le terme constant $b$ . Comme $\ell=a\ell+b$ , la différence $u_{n+1}-\ell$ vaut $a(u_n-\ell)$ : on obtient une suite géométrique de raison $a$ , dont on connaît le terme général.³ Si on pose une autre suite, la constante $b$ reste dans le calcul et la relation n'est plus de la forme $v_{n+1}=a\,v_n$ .

Que faire quand la valeur de $\ell$ ne tombe pas juste ?

Garde-la sous forme de fraction, par exemple $\ell=\frac{b}{1-a}$ , plutôt qu'une valeur décimale arrondie : les arrondis s'accumulent dans $a^n(u_0-\ell)+\ell$ . Vérifie ensuite que $a\ell+b=\ell$ et teste la formule finale pour $n=0$ et $n=1$ . Si $a=1$ , l'équation $\ell=a\ell+b$ n'a pas de solution quand $b\neq 0$ : la suite est alors arithmétique et se traite autrement.

Sources

Ressources pédagogiques Éduscol — Suites numériques, Éduscol (eduscol.education.fr). Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol — Analyse et équations différentielles, Éduscol (eduscol.education.fr). Consulté le 6 novembre 2026.
Suite arithmético-géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Moyenne arithmético-géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Suites arithmético-géométriques : exercices corrigés de Terminale

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Les exercices

Exercice 1 Un premier terme éloigné

Exercice 2 Une raison inférieure à 1

Exercice 3 Une raison négative

Exercice 4 Un étang qui se repeuple

Exercice 5 Quand l'étang dépasse un seuil

Exercice 6 Remonter le temps

Exercice 7 Rembourser un prêt

Exercice 8 Somme des premiers termes

Les questions qu'on se pose

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