Mathématiques expertes (option) · Terminale

Inverse d'une matrice et systèmes linéaires : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe une matrice $B$ de même taille telle que $AB=BA=I_n$ ; cette matrice est unique et notée $A^{-1}$ .
Pour une matrice d'ordre 2, $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$ , et alors $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ .
Un système s'écrit $AX=B$ ; si $A$ est inversible, il a une seule solution : $X=A^{-1}B$ (on multiplie à gauche).
Pour inverser une matrice d'ordre 2 ou 3, on résout $AX=Y$ avec $Y$ littéral : l'expression de $X$ en fonction de $Y$ donne $X=A^{-1}Y$ .
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ : l'ordre des facteurs s'inverse.

Pourquoi inverser une matrice ?

Au chapitre précédent, tu as appris à additionner et à multiplier des matrices. Une question se pose alors naturellement : dans les nombres réels, on résout $3x=12$ en divisant par $3$ , c'est-à-dire en multipliant par $\frac13$ . Existe-t-il quelque chose d'équivalent pour les matrices ? Peut-on « diviser » par une matrice pour résoudre une équation comme $AX=B$ ?

Le programme de Mathématiques expertes place cette question au cœur du calcul matriciel : l'inverse et les puissances d'une matrice carrée servent notamment à résoudre un système linéaire. ¹ Le calcul matriciel y est présenté comme un outil efficace pour représenter et résoudre des problèmes, qu'il s'agisse de systèmes linéaires, de transformations géométriques ou d'autres situations. ¹

Dans ce cours, tu vas :

définir ce qu'est une matrice inversible et son inverse ;
trouver l'inverse d'une matrice d'ordre 2, puis d'ordre 3 ;
traduire un système d'équations en une équation matricielle et le résoudre ;
découvrir les règles de calcul sur les inverses, avec le piège principal : l'ordre des produits.

Matrice inversible : la définition

Pour les nombres, l'inverse de $x\neq 0$ est le nombre $y$ tel que $xy=1$ . Pour les matrices, le rôle du nombre $1$ est tenu par la matrice identité $I_n$ , qui laisse inchangée toute matrice qu'on multiplie par elle : $AI_n=I_nA=A$ .

ExempleVérifier qu'une matrice est l'inverse d'une autre

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ .

$AB=\begin{pmatrix}2\times1+1\times(-1)&2\times(-1)+1\times2\\1\times1+1\times(-1)&1\times(-1)+1\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

$BA=\begin{pmatrix}1\times2+(-1)\times1&1\times1+(-1)\times1\\-1\times2+2\times1&-1\times1+2\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Les deux produits valent $I_2$ : $A$ est inversible et $A^{-1}=B$ .

Inverse d'une matrice d'ordre 2

Pour une matrice d'ordre 2, il existe une formule directe. Plutôt que de l'admettre, nous allons la retrouver par la méthode générale : chercher à exprimer les inconnues d'un système en fonction de ses seconds membres. Cette approche consiste à résoudre une équation $AX=Y$ où $X$ est une colonne d'inconnues et $Y$ une colonne de paramètres littéraux ; l'écriture des inconnues en fonction des paramètres s'écrit $X=BY$ , et $B$ est alors l'inverse de $A$ . ²

Démonstration · Retrouver la formule de l'inverse en ordre 2

Soit $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$ . L'égalité $AX=Y$ équivaut au système :

$\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}$

Multiplions la première équation par $d$ , la seconde par $b$ , puis soustrayons :

$(ad-bc)\,x=dp-bq$

Multiplions maintenant la première par $-c$ , la seconde par $a$ , puis additionnons :

$(ad-bc)\,y=-cp+aq$

Cas $ad-bc\neq0$ . On peut diviser :

$x=\frac{dp-bq}{ad-bc},\qquad y=\frac{-cp+aq}{ad-bc}$

Autrement dit $X=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}Y$ . La matrice qui multiplie $Y$ est l'inverse de $A$ .

Cas $ad-bc=0$ . Les deux égalités ci-dessus deviennent $0=dp-bq$ et $0=-cp+aq$ . Si $A$ était inversible, le système $AX=Y$ aurait une solution pour tout $Y$ , en prenant $X=A^{-1}Y$ . Or, dès que l'un des nombres $a,b,c,d$ n'est pas nul, on peut choisir $p$ et $q$ pour que l'une de ces deux relations soit fausse : le système n'a alors aucune solution. Si les quatre nombres sont nuls, $A$ est la matrice nulle et $AB=0\neq I_2$ quelle que soit $B$ . Dans tous les cas, $A$ n'est pas inversible.

Systèmes linéaires et écriture matricielle

Un système linéaire est une liste d'équations d'inconnues $x_1,\dots,x_n$ dans lesquelles chaque inconnue n'apparaît qu'au premier degré. Le calcul matriciel permet de l'écrire d'un seul trait.

Démonstration · Pourquoi $X=A^{-1}B$

Supposons $AX=B$ . On multiplie les deux membres à gauche par $A^{-1}$ :

$A^{-1}(AX)=A^{-1}B$

Le produit matriciel est associatif, donc $A^{-1}(AX)=(A^{-1}A)X=I_nX=X$ . D'où $X=A^{-1}B$ : s'il y a une solution, c'est celle-là, donc elle est unique.

Réciproquement, si $X=A^{-1}B$ , alors $AX=A(A^{-1}B)=(AA^{-1})B=I_nB=B$ : c'est bien une solution.

Inverser une matrice d'ordre 3 par résolution de système

Au-delà de l'ordre 2, il n'y a pas de formule aussi simple à ce niveau, mais la méthode utilisée plus haut reste valable. Déterminer une matrice $B$ telle que $AB=I_n$ peut se traduire par un système de $n^2$ équations à $n^2$ inconnues, ce qui devient vite lourd. ² Il est bien plus simple de résoudre l'égalité $AX=Y$ avec $X$ une colonne de $n$ inconnues et $Y$ une colonne de $n$ paramètres littéraux. ² C'est la méthode que le programme met en avant pour des matrices d'ordre 2 ou 3.

Écrire AX = YPrendre Y avec des paramètres littéraux a, b, c.
RésoudreSubstitution ou combinaisons, sans remplacer les lettres.
Lire X = BYLes coefficients de a, b, c forment les lignes de B.
ConclureA^-1 = B, puis contrôler le produit AB = I.

Inverser une matrice par résolution de système · Méthode générale valable pour les ordres 2 et 3.

ExempleInverse d'une matrice d'ordre 3

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ . Le système $AX=Y$ s'écrit :

$\begin{cases}x+2y=a\\y+z=b\\x+z=c\end{cases}$

De la troisième équation, $x=c-z$ . De la deuxième, $z=b-y$ , donc $x=c-b+y$ . En reportant dans la première : $c-b+y+2y=a$ , soit $3y=a+b-c$ . On en déduit :

$y=\frac{a+b-c}{3},\qquad z=b-y=\frac{-a+2b+c}{3},\qquad x=c-z=\frac{a-2b+2c}{3}.$

En lisant les coefficients de $a$ , $b$ , $c$ ligne par ligne :

$A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}$

Contrôle de la première ligne de $A$ avec chaque colonne : $1\times1+2\times1=3$ , $1\times(-2)+2\times1=0$ , $1\times2+2\times(-1)=0$ . On obtient bien $(3,0,0)/3=(1,0,0)$ , première ligne de $I_3$ . Les deux autres lignes se contrôlent de la même manière.

ExempleUtiliser cet inverse pour un système

Résolvons $\begin{cases}x+2y=4\\y+z=4\\x+z=5\end{cases}$ . Ici $Y=\begin{pmatrix}4\\4\\5\end{pmatrix}$ , donc :

$X=\frac13\begin{pmatrix}1\times4-2\times4+2\times5\\1\times4+1\times4-1\times5\\-1\times4+2\times4+1\times5\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}6\\3\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$

Solution : $x=2$ , $y=1$ , $z=3$ . Une fois l'inverse connu, chaque nouveau second membre se traite par un simple produit matriciel : c'est l'intérêt de calculer $A^{-1}$ quand on doit résoudre plusieurs systèmes ayant la même matrice.

Règles de calcul sur les inverses

Démonstration · Preuve de la règle du produit

Calculons le produit de $AB$ par $B^{-1}A^{-1}$ :

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AI_nA^{-1}=AA^{-1}=I_n.$

Dans l'autre sens :

$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_nB=B^{-1}B=I_n.$

Les deux produits valent $I_n$ : $B^{-1}A^{-1}$ est l'inverse de $AB$ .

ExempleUn inverse de produit

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ , d'inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ , et $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ , d'inverse $B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$ (on vérifie : $ad-bc=1$ pour chacune). Alors :

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}.$

Contrôle direct : $AB=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}$ a pour nombre $ad-bc=6-5=1$ , donc son inverse est $\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}$ . Les deux méthodes concordent.

Pour aller plus loin : quand il n'y a pas d'inverse

Une matrice carrée singulière ou une matrice rectangulaire n'a pas d'inverse. Les mathématiciens ont pourtant cherché à étendre la notion : le pseudo-inverse généralise l'inverse aux cas non inversibles en supprimant certaines des propriétés demandées à un inverse. ³ Pour une matrice à coefficients réels ou complexes, une version précise, appelée pseudo-inverse de Moore-Penrose, est unique. ³ Elle donne une solution approchée d'un système $Ax=b$ , celle de la méthode des moindres carrés. ³

Pour ton année, l'objectif est d'utiliser l'inverse là où il existe : résoudre des systèmes, et, dans les chapitres suivants, étudier des situations modélisées par des matrices. Le programme cite par exemple la matrice d'adjacence d'un graphe, les suites récurrentes et les transformations géométriques du plan comme représentations matricielles. ¹ Tu retrouveras donc les puissances et l'inverse d'une matrice dans les chapitres sur les graphes et les chaînes de Markov.

Exercices corrigés

Exercice 1 Inverse et système d'ordre 2

★☆☆Environ 8 min

On considère $A=\begin{pmatrix}4&3\\1&1\end{pmatrix}$ .

Montre que $A$ est inversible et calcule $A^{-1}$ .
Résous le système $\begin{cases}4x+3y=18\\x+y=5\end{cases}$ à l'aide de $A^{-1}$ .

Donne la valeur de $x$ .

Indice 1

Calcule d'abord $ad-bc$ pour la matrice $A$ .

Indice 2

Écris le système sous la forme $AX=B$ avec $B=\begin{pmatrix}18\\5\end{pmatrix}$ , puis multiplie à gauche par $A^{-1}$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $ad-bc=4\times1-3\times1=1$ . Ce nombre est non nul, donc $A$ est inversible.
On applique la formule : $A^{-1}=\dfrac11\begin{pmatrix}1&-3\\-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3\\-1&4\end{pmatrix}$ .
On écrit le système sous la forme $AX=B$ avec $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}18\\5\end{pmatrix}$ .
On multiplie à gauche : $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1\times18-3\times5\\-1\times18+4\times5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ .
On vérifie dans le système : $4\times3+3\times2=18$ et $3+2=5$ .

La solution est $x=3$ et $y=2$ . Le contrôle dans le système est la dernière étape à ne jamais sauter.

Exercice 2 Quand une matrice cesse d'être inversible

★★☆Environ 8 min

Soit $m$ un nombre réel et $M=\begin{pmatrix}2&m\\4&6\end{pmatrix}$ .

Exprime en fonction de $m$ le nombre $ad-bc$ .
Pour quelle valeur de $m$ la matrice $M$ n'est-elle pas inversible ?

Donne cette valeur de $m$ .

Indice 1

Une matrice d'ordre 2 est inversible si et seulement si $ad-bc\neq0$ .

Indice 2

Cherche la valeur de $m$ qui annule $ad-bc$ .

Voir la correction pas à pas

Ici $a=2$ , $b=m$ , $c=4$ , $d=6$ : on calcule $ad-bc=2\times6-m\times4=12-4m$ .
La matrice n'est pas inversible exactement quand ce nombre est nul : on résout $12-4m=0$ .
On obtient $4m=12$ , donc $m=3$ .
Vérification : pour $m=3$ , la première ligne $(2\;3)$ et la seconde $(4\;6)$ sont proportionnelles (la seconde vaut deux fois la première), ce qui confirme l'absence d'inverse.

La matrice $M$ n'est pas inversible pour $m=3$ , et elle l'est pour toute autre valeur de $m$ .

Exercice 3 Inverse d'un produit

★★★Environ 12 min

On pose $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ .

Calcule $A^{-1}$ et $B^{-1}$ .
Déduis-en $(AB)^{-1}$ à l'aide de la règle sur l'inverse d'un produit.
Retrouve le résultat en calculant directement $AB$ puis son inverse.

Donne le coefficient situé en première ligne et deuxième colonne de $(AB)^{-1}$ .

Indice 1

Attention à l'ordre : $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .

Indice 2

Pour le contrôle, calcule $AB$ puis applique la formule de l'ordre 2.

Voir la correction pas à pas

Pour $A$ : $ad-bc=2\times1-1\times1=1$ , donc $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ .
Pour $B$ : $ad-bc=1\times1-2\times0=1$ , donc $B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$ .
On applique la règle : $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}1\times1+(-2)\times(-1)&1\times(-1)+(-2)\times2\\0\times1+1\times(-1)&0\times(-1)+1\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}$ .
Contrôle direct : $AB=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}$ , avec $ad-bc=6-5=1$ , donc l'inverse est $\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}$ .
Le coefficient demandé, en première ligne et deuxième colonne, est $-5$ .

Les deux méthodes donnent $(AB)^{-1}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}$ . Le calcul avec $A^{-1}B^{-1}$ aurait donné un résultat différent, ce qui illustre l'importance de l'ordre.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir rapidement si une matrice d'ordre 2 est inversible ?

Calcule $ad-bc$ . Si ce nombre est non nul, la matrice est inversible ; s'il vaut $0$ , elle ne l'est pas. Tu peux aussi observer les lignes : si l'une est un multiple de l'autre, le nombre $ad-bc$ est nul et la matrice n'est pas inversible.

Pourquoi ne peut-on pas écrire $X=B/A$ ?

Parce que le produit matriciel n'est pas commutatif. Diviser par $A$ pourrait vouloir dire multiplier à gauche ou à droite par $A^{-1}$ , ce qui donne deux résultats différents. On écrit donc toujours $A^{-1}B$ en précisant l'ordre : pour $AX=B$ , on multiplie à gauche.

Dois-je toujours calculer l'inverse pour résoudre un système ?

Non. Pour un seul système, la substitution ou les combinaisons d'équations vont souvent aussi vite. L'inverse est utile quand tu dois résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice, ou quand le sujet te demande explicitement de passer par $A^{-1}$ . Sur ordinateur, d'autres techniques de calcul, comme la factorisation LU, sont préférées parce qu'elles sont nettement plus rapides. ²

Comment vérifier que mon inverse est juste ?

Multiplie $A$ par la matrice trouvée : tu dois obtenir la matrice identité $I_n$ . C'est un contrôle fiable et rapide. Pour un système, tu peux aussi remplacer la solution trouvée dans les équations de départ.

À quoi servent les matrices inverses ensuite dans le programme ?

Le programme présente l'inverse et les puissances d'une matrice carrée comme des outils pour résoudre des systèmes linéaires, et cite d'autres représentations matricielles comme la matrice d'adjacence d'un graphe, les suites récurrentes et les transformations du plan. ¹ Tu les retrouveras dans les chapitres sur les graphes et les chaînes de Markov.

Sources

Programme visé : Mathématiques Expertes – Graphes et Matrices (Terminale) · Éduscol

Mathématiques Expertes – Graphes et Matrices (Terminale), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Matrice inversible, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Pseudo-inverse, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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