Inverse d'une matrice et systèmes linéaires : exercices de Terminale

On calcule $AB$ : $\begin{pmatrix}2\times3+1\times(-5) & 2\times(-1)+1\times 2\\ 5\times3+3\times(-5) & 5\times(-1)+3\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

On calcule $BA$ : $\begin{pmatrix}3\times2+(-1)\times5 & 3\times1+(-1)\times3\\ -5\times2+2\times5 & -5\times1+2\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

On a $AB=BA=I_2$ : par définition, $A$ est inversible et $B$ est sa matrice inverse ². On écrit $A^{-1}=B$.

La première équation donne $x=a-2y$.

On remplace dans la seconde : $3(a-2y)+5y=b$, donc $3a-y=b$ et $y=3a-b$.

On revient à $x$ : $x=a-2(3a-b)=-5a+2b$.

On écrit $X=\begin{pmatrix}-5a+2b\\3a-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$. La matrice obtenue est l'inverse de $A$ ² : $A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}$.

Vérification : $A A^{-1}=\begin{pmatrix}-5+6&2-2\\-15+15&6-5\end{pmatrix}=I_2$. Le coefficient en bas à gauche vaut $3$.

Le système s'écrit $AX=Y$ avec $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}7\\18\end{pmatrix}$.

Comme $A$ est inversible, on multiplie à gauche par $A^{-1}$ : $X=A^{-1}Y$ ¹.

On calcule $X=\begin{pmatrix}3\times7-1\times18\\-5\times7+2\times18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$.

On contrôle : $2\times3+1=7$ et $5\times3+3\times1=18$. Le couple solution est $(3\,;\,1)$ et $x=3$.

Le système $AX=Y$ s'écrit $x+y=a$, $y+z=b$, $z=c$.

La dernière équation donne $z=c$. La deuxième donne $y=b-c$. La première donne $x=a-y=a-b+c$.

On met sous forme matricielle : $X=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}Y$. D'après la méthode du système à paramètres, $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$ ².

Vérification de la première ligne de $AA^{-1}$ : $(1,1,0)$ fois les colonnes de $A^{-1}$ donne $(1,\,-1+1,\,1-1)=(1,0,0)$. Les autres lignes se contrôlent de la même façon.

Pour $Y=\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}$ : $x=6-4+1=3$, $y=4-1=3$, $z=1$. Donc $x+y+z=7$.

Le système est $x+2y=a$ et $2x+4y=b$.

Pour $a=1$ et $b=0$, on a $x+2y=1$ et $2x+4y=0$. En doublant la première, on obtient $2x+4y=2$, ce qui contredit $2x+4y=0$. Le système n'a aucune solution.

Raisonnons par l'absurde. Si $A$ était inversible, d'inverse $B$, alors pour tout $Y$ la matrice $X=BY$ vérifierait $AX=ABY=I_2Y=Y$ : le système aurait toujours une solution.

Or ce n'est pas le cas pour $Y=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. Donc aucune matrice $B$ ne convient et $A$ n'est pas inversible.

On multiplie à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}(AX)=A^{-1}C$.

Comme $A^{-1}A=I_2$ ², il reste $X=A^{-1}C$.

On calcule : $X=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&4\\3&-2\end{pmatrix}$.

Le coefficient en haut à droite vaut $4$. Contrôle : $AX$ a pour première ligne $(1\times(-5)+2\times3,\;1\times4+2\times(-2))=(1,0)$, comme $C$.

Le système est $2x+y=5$ et $5x+3y=13$, donc $AX=Y$ avec $Y=\begin{pmatrix}5\\13\end{pmatrix}$.

Comme $A$ est inversible, $X=A^{-1}Y$ ¹.

On calcule $X=\begin{pmatrix}3\times5-13\\-5\times5+2\times13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$.

Un cahier coûte 2 euros et un stylo 1 euro. Contrôle : $2\times2+1=5$ et $5\times2+3\times1=13$.

Le système est $x+2y=a$ et $3x+ky=b$. En retranchant 3 fois la première équation à la seconde, on obtient $(k-6)y=b-3a$.

Si $k\neq6$, on peut diviser par $k-6$ : $y$ puis $x$ s'expriment de façon unique en fonction de $a$ et $b$, donc on obtient $X=BY$ et $A_k$ est inversible ².

Si $k=6$, l'équation devient $0=b-3a$ : le système n'a pas de solution pour $a=0$ et $b=1$. Comme dans l'exercice 5, $A_6$ n'est pas inversible. La valeur cherchée est $k=6$.

Pour $k=7$ : $y=b-3a$, puis $x=a-2y=a-2b+6a=7a-2b$. Donc $A_7^{-1}=\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}$.

Vérification : $A_7A_7^{-1}=\begin{pmatrix}7-6&-2+2\\21-21&-6+7\end{pmatrix}=I_2$, et de même pour $A_7^{-1}A_7$.

Par le système : en retranchant la deuxième équation à la première, $x=a-b$. Puis $y=b-2x=b-2a+2b=-2a+3b$.

Donc $X=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}Y$ et $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}$ ² : c'est la proposition d'Alice.

Vérification : $A\times\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-2&-3+3\\2-2&-2+3\end{pmatrix}=I_2$.

Bastien : le coefficient en haut à gauche du produit $AB$ vaut $3\times1+1\times2=5\neq1$, donc $AB\neq I_2$. Chloé : il vaut $3\times1+1\times(-1)=2\neq1$, donc rejetée aussi.

La somme des coefficients de $A^{-1}$ est $1-1-2+3=1$.