Inverse d'une matrice et systèmes linéaires : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice B de même taille avec AB=BA=In ; B est alors unique et se note A−1.
Un système linéaire s'écrit AX=Y ; si A est inversible, la solution est X=A−1Y.
Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.
Méthode : résoudre AX=Y avec des paramètres littéraux dans Y pour lire directement l'inverse.
Piège : l'ordre compte, on écrit A−1Y et jamais YA−1.
L'essentiel à retenir : la matrice inverse
Au programme de Mathématiques expertes, le calcul matriciel sert à représenter et à résoudre des problèmes : l'inverse d'une matrice carrée est l'un des outils qui permettent de résoudre un système linéaire.1 Cette fiche rassemble ce qu'il faut savoir pour traiter ce type de question sans hésiter.
Résoudre un système linéaire avec l'inverse
Un système de n équations à n inconnues se met sous la forme matricielle AX=Y, où A contient les coefficients, X est la colonne des inconnues et Y la colonne des seconds membres.
Exemple complet
Pièges et réflexes d'examen
Questions flash
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L'inverse est la matrice B pour laquelle AB et BA valent tous les deux In.2 La condition A+B=In mélange somme et produit : l'inverse concerne le produit. Un produit nul ne donne jamais l'identité.
Faux : l'inversibilité est définie pour les matrices carrées,2 et les matrices non carrées ne sont jamais inversibles.3 Il est tentant de croire qu'il suffit que le produit AB existe, mais il faut aussi BA=In avec la même taille.
On multiplie à gauche par A−1 : A−1AX=A−1Y, donc X=A−1Y.2 Écrire YA−1 inverse l'ordre des facteurs, ce qui est faux car le produit matriciel n'est pas commutatif. La division par une matrice n'existe pas.
La première ligne donne x=3×7+(−1)×18=21−18=3. L'erreur tentante est d'oublier le signe moins du coefficient −1 et de trouver 39.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une matrice est inversible ?
La définition donne un test direct : on cherche une matrice B de même taille avec AB=BA=In.2 En pratique, on résout le système AX=Y avec des paramètres littéraux : si on obtient une expression unique de chaque inconnue en fonction des paramètres, la matrice est inversible et la matrice B lue dans X=BY est son inverse.2
Faut-il toujours calculer l'inverse pour résoudre un système ?
Non. Au programme, l'inverse est un moyen de résoudre un système linéaire,1 mais d'autres méthodes existent et peuvent être plus rapides, notamment avec de grands systèmes.2 Pour un système d'ordre 2 ou 3 posé dans un exercice de matrices, la méthode par l'inverse est celle attendue.
Que faire si la matrice du système n'est pas carrée ?
Elle n'a pas d'inverse au sens de ce cours.3 Il existe des généralisations appelées pseudo-inverses, qui donnent une solution approchée au sens des moindres carrés,3 mais elles dépassent le programme de Terminale.