Inverse d'une matrice et systèmes linéaires : quiz de Terminale

Quiz

14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

1. Quelle est la définition correcte d'une matrice inversible ?

   Une matrice carrée $A$ pour laquelle il existe $B$ de même taille avec $AB=BA=I_n$Une matrice dont tous les coefficients sont non nulsUne matrice $A$ pour laquelle il existe $B$ avec $AB=0$Une matrice quelconque (carrée ou non) pour laquelle $AB=I_n$ avec une matrice $B$ de n'importe quelle taille
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2. Une matrice qui n'est pas carrée peut-elle être inversible au sens du programme de Terminale ?

   VraiFaux
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3. Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$. Que peut-on dire ?

   $B$ est l'inverse de $A$, car $AB=BA=I_2$$B$ n'est pas l'inverse de $A$, car $AB\neq I_2$$B$ est l'inverse de $A$ car $B$ a les mêmes coefficients au signe prèsOn ne peut pas conclure sans calculer le déterminant
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4. Parmi ces matrices, laquelle est l'inverse de $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$ ?

   $\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}5&-2\\-3&1\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}1&\frac12\\\frac13&\frac15\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}$
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5. On considère le système $\begin{cases}2x+y=5\\5x+3y=13\end{cases}$, soit $AX=Y$ avec $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}5\\13\end{pmatrix}$. On admet que $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$. Quelle est la valeur de $x$ ?

   Ta réponse
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6. Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$, d'inverse $\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}$. On résout $\begin{cases}x+2y=1\\3x+5y=2\end{cases}$ avec l'inverse. Quelle est la valeur de $y$ ?

   Ta réponse
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7. Si $A$ est inversible et que $AX=Y$ avec $X$ et $Y$ des matrices colonnes, quelle égalité est correcte ?

   $X=A^{-1}Y$$X=YA^{-1}$$X=\dfrac{Y}{A}$$X=A^{-1}+Y$
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8. Quelles affirmations sont vraies ? (plusieurs réponses possibles)

   Plusieurs réponses possibles.

   Si $A$ est inversible, sa matrice inverse est uniqueLa matrice identité $I_n$ est inversible et égale à son propre inverseOn note l'inverse de $A$ sous la forme $\frac{1}{A}$La matrice nulle d'ordre 2 est inversible
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9. Toute matrice carrée est inversible.

   VraiFaux
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10. Pourquoi la matrice $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ n'est-elle pas inversible ?

    Le système $AX=Y$ n'a de solution que si $Y=\begin{pmatrix}a\\2a\end{pmatrix}$, et alors il en a une infinitéParce qu'elle contient un coefficient pairParce que ses coefficients sont tous différents de 0Parce que sa trace est nulle
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11. Soit $A=2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$. Quelle est la valeur du coefficient situé en première ligne, première colonne de $A^{-1}$ ?

    Ta réponse
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12. Si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles de même ordre, quelle est l'inverse de $AB$ ?

    $B^{-1}A^{-1}$$A^{-1}B^{-1}$$A^{-1}+B^{-1}$$AB$ lui-même
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13. Pour chercher l'inverse d'une matrice carrée $A$ d'ordre 3 en écrivant l'égalité $AB=I_3$ coefficient par coefficient, combien d'équations linéaires obtient-on ?

    Ta réponse
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14. Que permet de faire un pseudo-inverse, notion hors programme de Terminale ?

    Étendre l'idée d'inverse à des matrices qui ne sont pas inversiblesRemplacer toute matrice inversible par une matrice plus simpleCalculer la puissance $n$-ième d'une matriceDémontrer que toute matrice carrée est inversible
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