Mathématiques expertes (option) · Terminale

Matrices et opérations : cours de Terminale maths expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une matrice de taille $n \times p$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes ; on l'additionne et on la multiplie par un réel coefficient par coefficient.
Le produit $AB$ existe si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ : $c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$ (ligne de $A$ par colonne de $B$ ).
Le produit est associatif et distributif, mais pas commutatif : en général $AB \neq BA$ .
La matrice identité $I_n$ est neutre : $AI_n = I_nA = A$ .
On définit les puissances $A^n$ d'une matrice carrée ; pour une matrice diagonale, on élève chaque terme de la diagonale à la puissance $n$ .
Attention : $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , et $AB = 0$ n'impose pas $A=0$ ou $B=0$ .

Pourquoi manipuler des matrices ?

Dans le chapitre « Graphes et matrices » de l'option de mathématiques expertes, le programme demande d'introduire les notions de graphes et de matrices et d'en souligner l'intérêt pour des applications ¹. Avant de parler de graphes, il faut donc savoir calculer avec des matrices : les additionner, les multiplier, les élever à une puissance. C'est exactement l'objet de ce cours.

Une matrice, c'est d'abord un simple tableau de nombres. Sa force vient des opérations qu'on peut faire dessus. Selon l'article de référence sur le sujet, ce calcul sert à résoudre des systèmes linéaires, à étudier des séries de données statistiques, à coder des graphes finis (orientés ou pondérés) et à modéliser des phénomènes qui évoluent au hasard ⁴. Tu retrouveras ces usages dans les chapitres suivants : inverse et systèmes linéaires, vocabulaire des graphes, matrice d'adjacence et chemins.

Le programme cite parmi les objets à étudier les matrices lignes, les opérations sur les matrices, l'inverse et les puissances d'une matrice carrée, puis des représentations matricielles comme la matrice d'adjacence d'un graphe ou la matrice de transition d'une chaîne de Markov ¹. Dans cette page, nous construisons les outils de calcul : tout ce qui suit sert ensuite à ces applications.

Définitions : taille, coefficients, matrices particulières

DéfinitionVocabulaire des formes particulières

Une matrice carrée d'ordre $n$ a autant de lignes que de colonnes ( $n \times n$ ). Les coefficients $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ forment sa diagonale.
Une matrice ligne a une seule ligne ( $1 \times p$ ) ; une matrice colonne a une seule colonne ( $n \times 1$ ). On représente souvent un vecteur par une matrice colonne, ou par une matrice ligne selon la convention choisie ⁴.
La matrice nulle a tous ses coefficients égaux à $0$ ; on la note $0$ .
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients hors de la diagonale sont nuls.
La matrice identité d'ordre $n$ , notée $I_n$ , est la matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ .

$I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Somme de matrices et multiplication par un réel

Le produit de deux matrices

Le produit est l'opération la plus importante, et la moins intuitive. Historiquement, c'est en 1854 qu'Arthur Cayley a défini de façon générale les opérations usuelles du calcul matriciel et montré l'associativité et la distributivité de la multiplication ⁴. Avant lui, l'usage des matrices se limitait essentiellement au calcul de déterminants ⁴. Ce que tu apprends ici est donc une idée qui a changé la façon de faire des mathématiques.

Taille du résultat d'un produit
Taille de A	Taille de B	Produit AB	Taille de AB
2 × 3	3 × 2	Existe	2 × 2
3 × 2	2 × 3	Existe	3 × 3
2 × 3	2 × 3	N'existe pas	—
1 × 2	2 × 2	Existe	1 × 2

Taille du résultat d'un produit · La condition d'existence compare les colonnes du premier facteur aux lignes du second.

TaillesColonnes de A = lignes de B ?
RésultatAnnonce la taille n × q du produit
Case (i, j)Ligne i de A par colonne j de B
ContrôleVérifie la taille et les cas simples

Calculer un produit de matrices

ExempleUn produit $2\times 3$ par $3 \times 2$

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & -1 & 4\end{pmatrix}$ ( $2\times 3$ ) et $B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\\ 5 & -2\end{pmatrix}$ ( $3 \times 2$ ). Le produit $AB$ existe et sera de taille $2 \times 2$ .

$c_{11} = 1\times 2 + 2\times 0 + 0\times 5 = 2$ ;
$c_{12} = 1\times 1 + 2\times 3 + 0\times(-2) = 7$ ;
$c_{21} = 3\times 2 + (-1)\times 0 + 4\times 5 = 26$ ;
$c_{22} = 3\times 1 + (-1)\times 3 + 4\times(-2) = -8$ .

$AB=\begin{pmatrix} 2 & 7\\ 26 & -8\end{pmatrix}.$

Le produit $BA$ existe aussi : $B$ a 2 colonnes et $A$ a 2 lignes. Il est de taille $3\times 3$ :

$BA=\begin{pmatrix} 5 & 3 & 4\\ 9 & -3 & 12\\ -1 & 12 & -8\end{pmatrix}.$

$AB$ et $BA$ n'ont même pas la même taille : elles ne peuvent pas être égales.

ExempleUn produit ligne par matrice, avant-goût des chaînes de Markov

Une matrice ligne $\pi_0=\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7\end{pmatrix}$ ( $1 \times 2$ ) multipliée par $P=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1\\ 0{,}5 & 0{,}5\end{pmatrix}$ ( $2\times 2$ ) donne une matrice de taille $1\times 2$ :

$\pi_0 P=\begin{pmatrix} 0{,}3\times 0{,}9+0{,}7\times 0{,}5 & 0{,}3\times 0{,}1+0{,}7\times 0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}62 & 0{,}38\end{pmatrix}.$

Le programme présente la matrice de transition d'une chaîne de Markov et la matrice ligne $\pi_0$ comme des exemples de représentations matricielles ¹ ; ici, tu viens de faire le calcul qui les relie. Un chapitre ultérieur approfondira son interprétation.

Propriétés du produit : ce qui marche et ce qui ne marche pas

Démonstration · Pourquoi la distributivité est vraie

Soit $A$ de taille $n\times p$ , $B$ et $C$ de taille $p\times q$ . Le coefficient $(i,j)$ de $A(B+C)$ est

$\sum_{k=1}^{p} a_{ik}(b_{kj}+c_{kj}) = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^{p} a_{ik}c_{kj},$

c'est-à-dire la somme des coefficients $(i,j)$ de $AB$ et de $AC$ . Les deux matrices ont la même taille $n\times q$ et les mêmes coefficients : elles sont égales.

ExempleUn contre-exemple à connaître

Avec $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & -1\end{pmatrix}$ :

$AB=\begin{pmatrix} 2\times1+1\times2 & 2\times4+1\times(-1)\\ 0\times1+3\times2 & 0\times4+3\times(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 7\\ 6 & -3\end{pmatrix},$

$BA=\begin{pmatrix} 1\times2+4\times0 & 1\times1+4\times3\\ 2\times2+(-1)\times0 & 2\times1+(-1)\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 13\\ 4 & -1\end{pmatrix}.$

On a bien $AB\neq BA$ . Pour prouver qu'une égalité est fausse en général, un seul contre-exemple suffit.

Règles vraies et fausses pour le produit
Règle	Pour les matrices
(AB)C = A(BC)	Vraie
A(B + C) = AB + AC	Vraie
AI = IA = A	Vraie (A carrée)
AB = BA	Fausse en général
(A + B)² = A² + 2AB + B²	Vraie seulement si AB = BA
AB = 0 ⇒ A = 0 ou B = 0	Fausse en général

Règles vraies et fausses pour le produit

Puissances d'une matrice carrée

ExempleLa matrice $A=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1\end{pmatrix}$

On calcule $A^2=\begin{pmatrix} 1&2\\0&1\end{pmatrix}$ puis $A^3=A^2A=\begin{pmatrix} 1&3\\0&1\end{pmatrix}$ . On conjecture

$A^n=\begin{pmatrix} 1&n\\0&1\end{pmatrix}\quad\text{pour tout entier } n\geq 1.$

Initialisation. Pour $n=1$ , la formule donne bien $A$ .

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$ . Alors

$A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix} 1&n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times1+n\times0 & 1\times1+n\times1\\ 0\times1+1\times0 & 0\times1+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&n+1\\0&1\end{pmatrix}.$

La formule est donc vraie au rang $n+1$ ; par récurrence, elle est vraie pour tout $n\geq1$ .

Pièges de calcul et méthodes de contrôle

À quoi servent ces opérations ensuite ?

Les opérations de ce cours sont la base de tout le chapitre « Graphes et matrices ». Le programme prévoit l'étude de l'inverse d'une matrice carrée, puis de représentations matricielles comme la matrice d'adjacence d'un graphe et la matrice de transition d'une chaîne de Markov ¹. Une matrice permet en effet d'encoder un graphe fini, même orienté ou pondéré ⁴. Les puissances de la matrice d'adjacence permettront ensuite de compter des chemins : c'est la raison pour laquelle on s'entraîne tant à les calculer.

Exercices corrigés

Exercice 1 Un coefficient d'un produit

★☆☆Environ 8 min

On considère $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & -1\end{pmatrix}$ .

Calculer $AB$ et $BA$ . Que constate-t-on ?
Quel est le coefficient situé à la ligne 2 et à la colonne 2 de $AB$ ?

Indice 1

Pour le coefficient $(2,2)$ , utilise la ligne 2 de $A$ et la colonne 2 de $B$ .

Indice 2

Pour comparer $AB$ et $BA$ , calcule les quatre coefficients de chaque produit.

Voir la correction pas à pas

Les deux matrices sont carrées d'ordre 2 : les produits $AB$ et $BA$ existent et sont d'ordre 2.
Coefficient $(1,1)$ de $AB$ : $2\times1+1\times2=4$ . Coefficient $(1,2)$ : $2\times4+1\times(-1)=7$ .
Coefficient $(2,1)$ de $AB$ : $0\times1+3\times2=6$ . Coefficient $(2,2)$ : $0\times4+3\times(-1)=-3$ . Donc $AB=\begin{pmatrix}4&7\\6&-3\end{pmatrix}$ .
Pour $BA$ : $(1,1)$ vaut $1\times2+4\times0=2$ , $(1,2)$ vaut $1\times1+4\times3=13$ , $(2,1)$ vaut $2\times2+(-1)\times0=4$ , $(2,2)$ vaut $2\times1+(-1)\times3=-1$ . Donc $BA=\begin{pmatrix}2&13\\4&-1\end{pmatrix}$ .
On constate que $AB\neq BA$ . Le coefficient demandé est $-3$ .

Le produit de matrices n'est pas commutatif : $AB\neq BA$ . Le coefficient $(2,2)$ de $AB$ vaut $-3$ .

Exercice 2 Une puissance par récurrence

★★☆Environ 12 min

Soit $A=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1\end{pmatrix}$ .

Calculer $A^2$ et $A^3$ , puis conjecturer l'expression de $A^n$ .
Démontrer cette conjecture par récurrence.
En déduire le coefficient situé à la ligne 1 et à la colonne 2 de $A^{10}$ .

Indice 1

Écris $A^3=A^2\times A$ et lis comment le coefficient en haut à droite évolue.

Indice 2

Pour l'hérédité, calcule $A^{n+1}=A^n\times A$ avec la formule supposée vraie.

Voir la correction pas à pas

$A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ et $A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ .
On conjecture $A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ pour tout entier $n\geq1$ .
Initialisation : pour $n=1$ , la formule donne $A$ .
Hérédité : si $A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ , alors $A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix}1&n+1\\0&1\end{pmatrix}$ .
Par récurrence, la formule est vraie pour tout $n\geq1$ . Pour $n=10$ , le coefficient $(1,2)$ vaut $10$ .

$A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ et le coefficient cherché de $A^{10}$ vaut $10$ .

Exercice 3 Vérifier une relation entre puissances

★★★Environ 15 min

Soit $M=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $I$ la matrice identité d'ordre 2.

Calculer $M^2$ .
Calculer $M^2-5M$ .
En déduire que $M^2-5M-2I$ est la matrice nulle.
Pourquoi ne peut-on pas affirmer que $(M+I)^2=M^2+2M+I$ sans calcul préalable ? Vérifier que c'est pourtant vrai ici.

Indice 1

Pour la question 4, compare $MI$ et $IM$ .

Indice 2

La matrice $I$ commute avec toute matrice carrée de même ordre.

Voir la correction pas à pas

$M^2=\begin{pmatrix}1\times1+2\times3 & 1\times2+2\times4\\3\times1+4\times3 & 3\times2+4\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$ .
$5M=\begin{pmatrix}5&10\\15&20\end{pmatrix}$ , donc $M^2-5M=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I$ .
Ainsi $M^2-5M-2I=2I-2I$ , qui est la matrice nulle.
En général, $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ : la formule avec $2AB$ exige $AB=BA$ .
Ici $B=I$ et $MI=IM=M$ , donc $(M+I)^2=M^2+MI+IM+I^2=M^2+2M+I$ : la formule est vraie, parce que $I$ commute avec $M$ .

On a vérifié $M^2-5M-2I=0$ . L'identité remarquable ne marche que parce que $I$ commute avec toute matrice carrée de même ordre.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je peux multiplier deux matrices ?

Compare le nombre de colonnes de la première au nombre de lignes de la seconde. S'ils sont égaux, le produit existe ; le résultat a le nombre de lignes de la première et le nombre de colonnes de la seconde. Pour deux matrices carrées de même ordre, le produit existe toujours ³.

Pourquoi $AB$ et $BA$ ne sont-ils pas égaux en général ?

Parce que le produit combine des lignes de la première matrice avec des colonnes de la seconde : changer l'ordre change les nombres que l'on associe. Il suffit d'un exemple chiffré pour le voir, comme celui du cours où $AB=\begin{pmatrix}4&7\\6&-3\end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix}2&13\\4&-1\end{pmatrix}$ . Certaines matrices commutent tout de même, comme les matrices scalaires avec toute matrice carrée de même ordre ³.

À quoi servent les matrices en dehors du cours ?

Elles servent à traiter des systèmes linéaires, à étudier des données statistiques, à coder des graphes finis ou à décrire des systèmes qui évoluent au hasard ⁴. Dans le programme de maths expertes, on les rencontre avec la matrice d'adjacence d'un graphe et la matrice de transition d'une chaîne de Markov ¹.

Peut-on calculer $A^n$ en élevant chaque coefficient à la puissance $n$ ?

Seulement si $A$ est diagonale. Pour une matrice diagonale, les opérations se font terme à terme ³, donc $D^n$ a pour diagonale les puissances $n$ -ièmes des termes de $D$ . Pour toute autre matrice, il faut calculer les produits ou conjecturer une formule puis la démontrer par récurrence.

Comment éviter les erreurs de calcul dans un produit ?

Annonce la taille du résultat, calcule une case à la fois en écrivant la ligne et la colonne utilisées, et contrôle avec des cas simples (multiplier par $I_n$ ne doit rien changer). Relis les signes quand des coefficients sont négatifs : c'est la première source d'erreurs.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques expertes en Terminale générale — Chapitre Graphes et matrices · Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol)

Programme de mathématiques expertes en Terminale générale — Chapitre Graphes et matrices, Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol). Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol — Graphes et matrices, Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol). Consulté le 6 novembre 2026.
Chapitre 11 : Matrices — Cours universitaire BCPST, Université Aix-Marseille. Consulté le 6 novembre 2026.
Matrice (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Calcul du déterminant d'une matrice, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Puissances d'une matrice carrée

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