Matrices et opérations : exercices corrigés de Terminale

Les deux matrices ont la même taille $2\times 2$ : la combinaison est possible.

On multiplie chaque coefficient de $A$ par 3 : $3A=\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$.

On multiplie chaque coefficient de $B$ par 2 : $2B=\begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 10 & -4 \end{pmatrix}$.

On soustrait terme à terme : $3A-2B=\begin{pmatrix} 6-2 & -3-8 \\ 0-10 & 9-(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & -11 \\ -10 & 13 \end{pmatrix}$.

On additionne les quatre coefficients : $4-11-10+13=-4$.

Les deux matrices sont carrées d'ordre 2 : les deux produits existent et sont de taille $2\times 2$.

Première ligne de $AB$ : $1\times 0+2\times 1=2$ et $1\times 1+2\times 0=1$.

Deuxième ligne de $AB$ : $3\times 0+4\times 1=4$ et $3\times 1+4\times 0=3$. Donc $AB=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$.

Pour $BA$ : la première ligne de $B$ est $(0\;\;1)$, ce qui donne la deuxième ligne de $A$, soit $(3\;\;4)$ ; la seconde ligne de $B$ est $(1\;\;0)$, ce qui donne la première ligne de $A$, soit $(1\;\;2)$. Donc $BA=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Ces deux matrices sont différentes : $AB\neq BA$.

Le coefficient demandé (ligne 2, colonne 1 de $AB$) est $4$.

$A$ est de taille $2\times 3$ et $B$ de taille $3\times 2$.

Pour $AB$ : $A$ a 3 colonnes, $B$ a 3 lignes, le produit existe et sa taille est $2\times 2$.

Pour $BA$ : $B$ a 2 colonnes, $A$ a 2 lignes, le produit existe aussi, mais sa taille est $3\times 3$. Les deux produits existent, et ils n'ont pas la même taille : ils ne peuvent donc pas être égaux.

Ligne 1 de $AB$ : $1\times 2+0\times 0+2\times 4=10$ et $1\times 1+0\times(-1)+2\times 3=7$.

Ligne 2 de $AB$ : $(-1)\times 2+3\times 0+1\times 4=2$ et $(-1)\times 1+3\times(-1)+1\times 3=-1$.

Donc $AB=\begin{pmatrix} 10 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, et la somme de ses coefficients est $10+7+2-1=18$.

La ligne 1 de $A$ est $(2\;\;x)$ et la colonne 1 de $B$ est $\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$.

Le coefficient vaut $2\times 1+x\times 4=2+4x$.

On résout $2+4x=14$, soit $4x=12$, donc $x=3$.

Contrôle : avec $x=3$, $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ et le coefficient vaut $2\times1+3\times4=14$.

$AB$ : ligne 1 : $1\times2+1\times1=3$ et $1\times0+1\times1=1$ ; ligne 2 : $0\times2+2\times1=2$ et $0\times0+2\times1=2$. Donc $AB=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

$BA$ : ligne 1 : $2\times1+0\times0=2$ et $2\times1+0\times2=2$ ; ligne 2 : $1\times1+1\times0=1$ et $1\times1+1\times2=3$. Donc $BA=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Par différence : $AB-BA=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$. Le coefficient demandé est $1$.

On développe : $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$. L'égalité proposée équivaut donc à $AB+BA=2AB$, c'est-à-dire à $BA=AB$.

Or $AB-BA$ n'est pas la matrice nulle : l'égalité est fausse pour ces matrices.

$Q$ est de taille $2\times 3$ et $P$ de taille $3\times 1$ : le produit $QP$ existe et est de taille $2\times 1$.

Chaque coefficient de $QP$ est la recette d'une boutique : on a multiplié chaque quantité par le prix correspondant, puis additionné.

Boutique 1 : $10\times 2+5\times 3+8\times 1{,}5=20+15+12=47$.

Boutique 2 : $4\times 2+12\times 3+6\times 1{,}5=8+36+9=53$.

Donc $QP=\begin{pmatrix} 47 \\ 53 \end{pmatrix}$ et la recette totale est $47+53=100$ €.

$A^2=A\times A=\begin{pmatrix} 1\times1+1\times0 & 1\times1+1\times1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

$A^3=A^2\times A=\begin{pmatrix} 1 & 1+2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

On conjecture $A^n=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Justification : si $A^n=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, alors $A^{n+1}=A^n\times A=\begin{pmatrix} 1 & 1+n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La forme se conserve en passant au rang suivant, et elle est vraie pour $n=1$ : elle est donc vraie pour tout $n\geq1$ (raisonnement par récurrence).

Pour $n=10$, le coefficient demandé est $10$.

$A^2=\begin{pmatrix} 0\times0+1\times(-1) & 0\times1+1\times0 \\ (-1)\times0+0\times(-1) & (-1)\times1+0\times0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=-I$.

$A^4=A^2\times A^2=(-I)(-I)=I$.

On effectue la division euclidienne : $2026=4\times 506+2$.

Alors $A^{2026}=(A^4)^{506}\times A^2=I^{506}\times A^2=A^2=-I$.

Le coefficient de la première ligne et de la première colonne de $-I$ est $-1$.

$2I+N=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=A$. Par ailleurs $N^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

$A^2=\begin{pmatrix} 4 & 2+2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$.

$A^3=A^2\times A=\begin{pmatrix} 8 & 4+8 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$.

Les coefficients en haut à droite sont $1,4,12$ pour $n=1,2,3$, ce qui s'écrit $n\times 2^{n-1}$. On conjecture $A^n=\begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$.

Vérification du passage de $n$ à $n+1$ : $A^{n+1}=A^n\times A$ a pour coefficient en haut à droite $2^n\times1+n\,2^{n-1}\times2=2^n+n\,2^n=(n+1)2^n$, ce qui est la forme attendue.

Pour $n=5$ : $5\times 2^{4}=5\times16=80$.