Mathématiques (spécialité) · Terminale · Fonction logarithme népérien

Étude de la fonction logarithme

• La fonction $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$, dérivable, de dérivée $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$ : elle est donc strictement croissante.
• Valeurs clés : $\ln 1=0$ et $\ln e=1$ ; $\ln x<0$ sur $]0\,;1[$ et $\ln x>0$ sur $]1\,;+\infty[$.
• Limites : $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
• Pour $u>0$ dérivable, $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ ; la courbe de $\ln$ est concave, donc sous ses tangentes : $\ln x\le x-1$.