Mathématiques (spécialité) · Terminale · Fonction logarithme népérien

Définition et propriétés algébriques du logarithme

• Pour $x>0$, $\ln(x)$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y=x$ : le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle, et il n'existe que sur $]0\,;+\infty[$.
• On a $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $e^{\ln x}=x$ pour $x>0$ et $\ln(e^y)=y$ pour tout réel $y$ ; la dérivée de $\ln$ est $x\mapsto \frac1x$, donc $\ln$ est strictement croissante.
• Propriétés algébriques ($a>0$, $b>0$, $n$ entier) : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\frac1a=-\ln a$, $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$, $\ln\sqrt a=\frac12\ln a$.
• Pour résoudre : fixer d'abord l'ensemble de définition, transformer avec les propriétés, utiliser $\ln a=\ln b\iff a=b$ et $\ln a<\ln b\iff a<b$, puis vérifier que les solutions sont dans le domaine.