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Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Étude de la fonction logarithme népérien : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • La fonction ln⁡\ln est définie sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, dérivable, de dérivée ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\dfrac{1}{x} : elle est donc strictement croissante.
  • Valeurs clés : ln⁡1=0\ln 1=0 et ln⁡e=1\ln e=1 ; ln⁡x<0\ln x<0 sur ]0 ;1[]0\,;1[ et ln⁡x>0\ln x>0 sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.
  • Limites : lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty et lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
  • Pour u>0u>0 dérivable, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u} ; la courbe de ln⁡\ln est concave, donc sous ses tangentes : ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1.
  • Pour résoudre : on précise l'ensemble de définition, puis on utilise que ln⁡\ln est strictement croissante et que ln⁡\ln et exp⁡\exp sont réciproques.

Ce que l'on sait déjà et ce que l'on veut étudier

Dans le chapitre précédent, tu as rencontré le logarithme népérien et ses propriétés algébriques. Ici, on change de point de vue : on traite ln⁡\ln comme une fonction que l'on étudie avec les outils habituels de l'analyse (dérivée, signe, variations, limites, courbe). L'objectif est de pouvoir, à la fin, mener l'étude complète d'une fonction faisant intervenir un logarithme, ce qui est un classique du Bac.

On s'appuie sur trois faits. Le logarithme népérien transforme les produits en sommes 4. C'est aussi la fonction réciproque de la fonction exponentielle 3. Enfin, c'est la primitive de la fonction inverse x↦1xx\mapsto \dfrac1x sur les réels strictement positifs qui s'annule en 1 4. Ce troisième fait est la clé de toute l'étude : il donne directement la dérivée.

Ensemble de définition et valeurs remarquables

Comme ln⁡\ln est la réciproque de exp⁡\exp, et que eye^y est toujours strictement positif, il n'existe aucun réel yy tel que eye^y soit négatif ou nul. Il est donc impossible de définir ln⁡x\ln x pour x≤0x\le 0 dans le cadre des fonctions réelles. Les sources signalent d'ailleurs que le prolongement du logarithme à un ensemble plus grand que ]0,+∞[]0,+\infty[ pose des difficultés qui sortent du programme de Terminale 4. Retiens simplement ceci.

Dérivée de la fonction logarithme

On sait que ln⁡\ln est la primitive de x↦1xx\mapsto\dfrac1x sur ]0,+∞[]0,+\infty[ qui s'annule en 1 4. Dire qu'une fonction est une primitive d'une autre, c'est dire que sa dérivée est cette autre fonction. On en déduit immédiatement le résultat suivant.

Démonstration · Retrouver la dérivée avec la réciproque

On peut aussi retrouver ce résultat à partir de eln⁡x=xe^{\ln x}=x (admettons que ln⁡\ln soit dérivable). Dérivons les deux membres de eln⁡x=xe^{\ln x}=x pour x>0x>0. Le membre de gauche est de la forme eue^{u} avec u=ln⁡xu=\ln x, donc sa dérivée vaut u′ eu=ln⁡′(x)×eln⁡x=ln⁡′(x)×xu'\,e^{u}=\ln'(x)\times e^{\ln x}=\ln'(x)\times x. Le membre de droite a pour dérivée 11. Ainsi x ln⁡′(x)=1x\,\ln'(x)=1, d'où ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\dfrac1x puisque x≠0x\neq0.

Sens de variation et signe de ln

La dérivée 1x\dfrac1x est strictement positive pour tout x>0x>0. Le signe de la dérivée donne donc immédiatement le sens de variation.

Limites aux bornes

Pour compléter le tableau de variations, il faut connaître le comportement de ln⁡\ln aux bornes de son ensemble de définition, c'est-à-dire en 00 (par valeurs positives) et en +∞+\infty.

Démonstration · Pourquoi ces limites

En +∞+\infty. Comme 2>12>1 et que ln⁡\ln est strictement croissante, ln⁡2>ln⁡1=0\ln 2>\ln 1=0. Pour tout entier nn, ln⁡(2n)=nln⁡2\ln(2^n)=n\ln 2, et ce nombre peut dépasser n'importe quel réel AA choisi à l'avance, dès que n>Aln⁡2n>\dfrac{A}{\ln2}. Ainsi, pour x≥2nx\ge2^n, on a ln⁡x≥nln⁡2>A\ln x\ge n\ln2>A grâce à la croissance. Donc ln⁡x\ln x finit par dépasser tout réel : lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.

En 0+0^+. Pour x>0x>0, ln⁡x=−ln⁡(1x)\ln x=-\ln\left(\dfrac1x\right). Quand x→0+x\to0^+, 1x→+∞\dfrac1x\to+\infty, donc ln⁡(1x)→+∞\ln\left(\dfrac1x\right)\to+\infty et son opposé tend vers −∞-\infty.

Courbe représentative, tangentes et concavité

On rassemble maintenant les résultats pour tracer la courbe Cln⁡\mathcal C_{\ln} et décrire son allure.

Courbe de la fonction ln et sa tangente en 1Courbe croissante de ln passant par le point (1 ; 0) et par le point (e ; 1), très pentue près de l'axe des ordonnées, avec la droite y = x - 1 tangente en (1 ; 0) au-dessus de la courbe.123456-3-2-11230𝒞lny = x − 1(1 ; 0)(e ; 1)
Courbe de la fonction ln et sa tangente en 1 · La courbe est sous sa tangente en 1 : c'est la concavité de ln.

Dérivée de ln(u) et fonctions composées

Dans les sujets de Bac, on rencontre rarement ln⁡x\ln x seul : on rencontre ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1), ln⁡(2x−3)\ln(2x-3), etc. Il faut donc savoir dériver une composée.

Démonstration · Justification

La fonction ln⁡u\ln u est la composée de uu suivie de ln⁡\ln. La dérivée d'une composée v∘uv\circ u est u′×v′(u)u'\times v'(u). Ici v=ln⁡v=\ln et v′(t)=1tv'(t)=\dfrac1t, donc (ln⁡u)′=u′×1u=u′u(\ln u)'=u'\times\dfrac1u=\dfrac{u'}{u}.

Équations, inéquations et méthode d'étude complète

Étudier une fonction avec un logarithmeCinq étapes : domaine, dérivée, signe, limites, tableau de variations.1DomaineTout ce qui est dans ln est strictement positif.2DérivéeUtiliser (ln u)' = u'/u, puis factoriser.3SigneÉtudier le signe de f'(x) sur le domaine.4LimitesCalculer aux bornes, en composant les limites.5TableauRassembler variations, limites et valeurs clés.
  1. DomaineTout ce qui est dans ln est strictement positif.
  2. DérivéeUtiliser (ln u)' = u'/u, puis factoriser.
  3. SigneÉtudier le signe de f'(x) sur le domaine.
  4. LimitesCalculer aux bornes, en composant les limites.
  5. TableauRassembler variations, limites et valeurs clés.
Étudier une fonction avec un logarithme

Exercices corrigés

Exercice 1 Équation avec un logarithme

★☆☆Environ 8 min

Résous dans R\mathbb R l'équation ln⁡(2x−3)=1\ln(2x-3)=1. Donne la valeur exacte puis une valeur approchée au millième.

Indice 1

Commence par le domaine : 2x−3>02x-3>0.

Indice 2

Utilise 1=ln⁡e1=\ln e, ou passe à l'exponentielle des deux côtés.

Voir la correction pas à pas

  1. Domaine : il faut 2x−3>02x-3>0, donc x>32x>\dfrac32.

  2. Comme ln⁡\ln et exp⁡\exp sont réciproques, ln⁡(2x−3)=1  ⟺  2x−3=e1=e\ln(2x-3)=1\iff 2x-3=e^1=e.

  3. On isole xx : 2x=e+32x=e+3, donc x=e+32x=\dfrac{e+3}{2}.

  4. Valeur approchée : e≈2,71828e\approx2{,}71828, donc x≈2,859x\approx2{,}859.

  5. Vérification : 2,859>1,52{,}859>1{,}5, la solution est dans le domaine.

L'unique solution est x=e+32≈2,859x=\dfrac{e+3}{2}\approx2{,}859. Le réflexe à garder : domaine d'abord, vérification à la fin.

Exercice 2 Dérivée et nombre dérivé

★★☆Environ 10 min

Soit g(x)=ln⁡(x2+1)g(x)=\ln(x^2+1), définie sur R\mathbb R.

  1. Justifie que gg est bien définie et dérivable sur R\mathbb R.
  2. Calcule g′(x)g'(x).
  3. Calcule le nombre dérivé g′(2)g'(2).
  4. Dresse le tableau de variations de gg.
Indice 1

Pour la dérivée de ln⁡u\ln u, pense à u′u\dfrac{u'}{u}.

Indice 2

Le dénominateur x2+1x^2+1 est toujours positif, le signe vient du numérateur.

Voir la correction pas à pas

  1. Pour tout réel xx, x2+1≥1>0x^2+1\ge1>0 : l'expression est définie et x↦x2+1x\mapsto x^2+1 est dérivable et strictement positive, donc gg est dérivable sur R\mathbb R.

  2. On pose u(x)=x2+1u(x)=x^2+1 et u′(x)=2xu'(x)=2x, donc g′(x)=2xx2+1g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}.

  3. En x=2x=2 : g′(2)=2×222+1=45=0,8g'(2)=\dfrac{2\times2}{2^2+1}=\dfrac45=0{,}8.

  4. Signe : x2+1>0x^2+1>0, donc g′(x)g'(x) a le signe de xx : négatif sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[, positif sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

  5. Variations : gg décroît sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0] puis croît sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, avec g(0)=ln⁡1=0g(0)=\ln1=0 pour minimum.

g′(x)=2xx2+1g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}, g′(2)=0,8g'(2)=0{,}8, et gg admet un minimum égal à 00 atteint en x=0x=0.

Exercice 3 Seuil de dépassement

★★★Environ 12 min

On cherche le plus petit entier naturel nn tel que ln⁡n>3\ln n>3.

  1. Traduis la condition à l'aide de l'exponentielle.
  2. Détermine nn.
  3. Explique pourquoi cet entier est assez grand, alors que la fonction ln⁡\ln tend vers +∞+\infty.
Indice 1

Utilise la croissance de ln⁡\ln : ln⁡n>3  ⟺  n>e3\ln n>3\iff n>e^3.

Indice 2

Calcule une valeur approchée de e3e^3 puis cherche l'entier juste au-dessus.

Voir la correction pas à pas

  1. Pour n≥1n\ge1, 3=ln⁡(e3)3=\ln(e^3) et ln⁡\ln est strictement croissante, donc ln⁡n>3  ⟺  n>e3\ln n>3\iff n>e^3.

  2. Valeur approchée : e3≈20,0855e^3\approx20{,}0855.

  3. Les entiers vérifiant n>20,0855n>20{,}0855 sont 21,22,…21, 22, \dots ; le plus petit est 2121.

  4. Contrôle : ln⁡20≈2,996<3\ln20\approx2{,}996<3 et ln⁡21≈3,045>3\ln21\approx3{,}045>3.

  5. Commentaire : ln⁡\ln tend vers +∞+\infty, mais lentement ; il faut multiplier xx par e≈2,7e\approx2{,}7 pour augmenter ln⁡x\ln x de 11.

Le plus petit entier est n=21n=21. La croissance de ln⁡\ln est certaine mais lente : les seuils deviennent vite très grands (pour ln⁡n>10\ln n>10, il faudrait n>22 026n>22\,026).

Quiz

8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction x↦ln⁡(x−3)x\mapsto\ln(x-3) ?

  2. Quelle est la dérivée de f(x)=ln⁡(2x+5)f(x)=\ln(2x+5) sur ]−52 ;+∞[\left]-\dfrac52\,;+\infty\right[ ?

  3. La fonction ln⁡\ln est strictement décroissante sur ]0 ;1[]0\,;1[ et strictement croissante sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.

  4. Quelle est la limite de ln⁡x\ln x quand xx tend vers 00 par valeurs positives ?

  5. Quelles propriétés sont vraies pour la fonction ln⁡\ln ? (plusieurs réponses)

    Plusieurs réponses possibles.

  6. Calcule le nombre dérivé ln⁡′(0,25)\ln'(0{,}25).

  7. Quel est l'ensemble des solutions de ln⁡x≤2\ln x\le 2 ?

  8. La tangente à la courbe de ln⁡\ln au point d'abscisse ee a pour équation :

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ln est-elle strictement croissante alors que sa courbe « part de très bas » ?

Une fonction peut être très négative et pourtant croissante. La croissance se lit sur la dérivée : ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\dfrac1x est positive pour tout x>0x>0. Près de 0, la dérivée est très grande, donc la courbe monte de façon presque verticale depuis −∞-\infty ; plus xx grandit, plus la pente diminue, mais elle reste positive.

Comment savoir si une expression avec ln est bien définie ?

Tout ce qui se trouve à l'intérieur d'un ln⁡\ln doit être strictement positif. Pour ln⁡(x2−4)\ln(x^2-4), tu résous x2−4>0x^2-4>0. Pour un quotient dans un ln⁡\ln, le quotient entier doit être strictement positif. C'est la toute première ligne d'une résolution ou d'une étude de fonction, et les correcteurs la regardent.

Quelle est la différence entre ln et exp sur la courbe ?

Les deux fonctions sont réciproques 3 : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=xy=x. Là où exp⁡\exp est très pentue et tend vers +∞+\infty très vite, ln⁡\ln est très aplatie. L'asymptote de exp⁡\exp est l'axe des abscisses, celle de ln⁡\ln est l'axe des ordonnées.

Peut-on dire que ln x tend vers l'infini « plus lentement que n'importe quoi » ?

Pas encore à ce stade : la comparaison précise de ln⁡x\ln x avec xx ou avec x\sqrt x relève des croissances comparées, qui font l'objet du chapitre suivant. Pour l'instant, retiens seulement que ln⁡x→+∞\ln x\to+\infty et que la courbe étant concave, elle reste sous ses tangentes, par exemple ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1.

Qu'est-ce qui tombe au Bac sur la fonction logarithme ?

On retrouve très souvent : l'étude d'une fonction de la forme ln⁡(u)\ln(u) ou u+ln⁡xu+\ln x (domaine, dérivée, tableau de variations, limites), une équation ou inéquation à résoudre avec le domaine, une tangente, et l'application du théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu'une équation f(x)=0f(x)=0 a une unique solution. Les points sont perdus surtout sur le domaine oublié et le facteur u′u' oublié.

Doit-on savoir démontrer les limites de ln ?

Le programme demande surtout de savoir utiliser les résultats : lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty et lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty. Connaître l'idée de la démonstration (la croissance et ln⁡(2n)=nln⁡2\ln(2^n)=n\ln 2 pour l'infini, puis ln⁡x=−ln⁡1x\ln x=-\ln\frac1x pour le zéro) t'aide à les retenir et à les justifier si on te le demande.

Sources

Programme visé : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale · Ministère de l'Éducation Nationale (BO)

  1. Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale, Ministère de l'Éducation Nationale (BO). Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Ressource pédagogique programme Terminale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
  4. Logarithme népérien, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  5. Histoire des logarithmes et des exponentielles, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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