Équations différentielles y' = ay + b : cours de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
L'équation y′=ay+b (avec a=0) a pour solutions les fonctions x↦Ceax−ab, où C est un réel quelconque.
La fonction constante x↦−ab est une solution particulière : on la trouve en cherchant y′=0.
Pour résoudre : mettre sous la forme y′=ay+b, repérer a et b, écrire la solution générale, puis utiliser la condition initiale pour trouver C.
Avec une condition y(x0)=y0, il existe une seule solution : C est alors fixé.
Si a<0, toutes les solutions tendent vers −ab en +∞ ; si a>0, elles s'éloignent de cette valeur (sauf la constante).
Introduction : pourquoi cette équation ?
Dans le chapitre sur les primitives, tu as appris à résoudre une équation très simple : y′=f. Chercher y revient alors à chercher une primitive de f1. Ici, la fonction inconnue apparaît des deux côtés de l'égalité : la dérivée de y dépend de y lui-même. C'est le principe d'une équation différentielle.
Le programme de spécialité prévoit d'étudier y′=ay+b pour a=0, et en particulier de savoir déterminer une solution de cette équation 2. Cette équation modélise de nombreux phénomènes : refroidissement d'une boisson, décharge d'un condensateur, évolution d'une population qui se renouvelle, concentration d'un médicament dans le sang. Dans tous ces cas, la vitesse de variation d'une grandeur dépend de la valeur de cette grandeur.
Dans ce cours, on avance en quatre temps :
on rappelle ce qu'est une équation différentielle et ce que « résoudre » signifie ;
on traite le cas y′=ay, qui sert de base ;
on résout y′=ay+b en trouvant une solution constante ;
on ajoute une condition initiale pour obtenir une solution unique, puis on applique la méthode à des exemples.
Équation différentielle, solution, résolution
Ici, l'inconnue n'est donc pas un nombre mais une fonction. C'est le changement de point de vue le plus important du chapitre. Quand tu résous 2x+3=11, tu cherches un nombre x. Quand tu résous y′=2y+3, tu cherches des fonctions y dont la dérivée est égale à « deux fois la fonction plus trois ».
Le cas de base : y' = ay
Le programme place l'équation y′=ay, avec a un nombre réel, avant y′=ay+b2. Elle est plus simple parce qu'il n'y a pas de terme constant. On la résout complètement, car toute la suite repose sur elle.
Démonstration · Démonstration
Les fonctions Ceax sont solutions. Si y(x)=Ceax, alors y′(x)=Ceax×a=ay(x).
Il n'y en a pas d'autres. Soit y une solution. On pose g(x)=y(x)e−ax. La fonction g est dérivable et
g′(x)=y′(x)e−ax−ay(x)e−ax=(y′(x)−ay(x))e−ax=0.
La dérivée de g est nulle sur un intervalle : g est constante, égale à un réel C. Donc y(x)e−ax=C, c'est-à-dire y(x)=Ceax.
Le théorème : résoudre y' = ay + b
On suppose maintenant a=0. Pourquoi cette condition ? Si a=0, l'équation devient y′=b : on retombe sur la recherche d'une primitive d'une constante, c'est-à-dire les fonctions x↦bx+C. Il n'y a plus d'exponentielle.
L'idée de la résolution est la suivante : on cherche d'abord une solution simple, puis on se ramène à l'équation sans second membre y′=ay. Cette stratégie est générale pour les équations linéaires avec second membre : il suffit de trouver une solution particulière pour les connaître toutes 6.
Démonstration · Démonstration
Étape 1 : une solution constante. Cherchons une solution constante y(x)=k. Sa dérivée est nulle, donc l'équation impose 0=ak+b, soit k=−ab. C'est possible parce que a=0. La fonction constante x↦−ab est donc solution.
Étape 2 : changement de fonction. Soit y une fonction dérivable quelconque. On pose z=y+ab. Alors z′=y′.
Étape 3 : équivalence. La fonction y est solution de y′=ay+b si et seulement si
z′=a(z−ab)+b=az−b+b=az.
Autrement dit, y est solution de y′=ay+b si et seulement si z est solution de z′=az.
Étape 4 : conclusion. D'après le cas de base, z(x)=Ceax. Donc y(x)=z(x)−ab=Ceax−ab.
Forme standardÉcrire y' = ay + b et lire a et b
Solution constanteCalculer −b/a
Solution généraley = Ce^(ax) − b/a
Condition initialeRemplacer pour trouver C
Résoudre y' = ay + b · Les quatre étapes de la résolution.
La méthode de résolution pas à pas
Condition initiale : une solution unique
La solution générale dépend d'un paramètre réel C : il y a donc une infinité de solutions. Pour en choisir une seule, on impose une valeur à un instant donné. Cette donnée s'appelle une condition initiale.
Démonstration · Démonstration
Une solution s'écrit y(x)=Ceax−ab. La condition y(x0)=y0 donne
Ceax0−ab=y0⟺C=(y0+ab)e−ax0.
Comme eax0 n'est jamais nul, cette équation d'inconnue C a exactement une solution.
Comportement des solutions et courbes
La forme y(x)=Ceax+k avec k=−ab permet de décrire l'allure de toutes les courbes sans calcul supplémentaire. Le programme demande d'ailleurs d'étudier l'allure des courbes pour y′=ay2, et la même réflexion s'étend ici.
Solutions de y' = y − 2 · Pour y' = y − 2, les solutions sont Ce^x + 2. Les courbes tracées correspondent à C = 1, C = −1 et C = 0.
Sur la courbe, on lit que la solution constante y=2 sépare les autres solutions : celles pour lesquelles C>0 sont au-dessus, celles pour lesquelles C<0 sont au-dessous. Deux courbes de solutions distinctes ne se coupent jamais, ce qui découle de l'unicité vue plus haut : si deux solutions prenaient la même valeur en un point, elles vérifieraient la même condition initiale et seraient égales.
Erreurs fréquentes et bons réflexes
Exercices corrigés
Exercice 1 Résoudre avec une condition initiale
★☆☆Environ 8 min
Résous l'équation y′=3y+6 sur R, puis détermine la solution qui vérifie y(0)=1. Donne la valeur de la constante C trouvée.
Indice 1
Calcule d'abord la solution constante −ab.
Indice 2
En x=0, l'exponentielle vaut 1.
Voir la correction pas à pas
Ici a=3 et b=6. L'équation est déjà sous la forme y′=ay+b.
La solution constante est −36=−2.
La solution générale est y(x)=Ce3x−2 avec C réel.
La condition y(0)=1 donne C−2=1, donc C=3.
La solution est y(x)=3e3x−2.
La solution cherchée est y(x)=3e3x−2, avec C=3.
Exercice 2 Mettre sous forme standard
★★☆Environ 10 min
On considère l'équation y′+2y=8 avec la condition y(0)=0. Résous-la et donne la valeur de la constante C.
Indice 1
Isole y′ avant de lire a et b.
Indice 2
Attention au signe de a.
Voir la correction pas à pas
On isole y′ : y′=−2y+8. Donc a=−2 et b=8.
La solution constante est −−28=4.
La solution générale est y(x)=Ce−2x+4.
La condition y(0)=0 donne C+4=0, donc C=−4.
La solution est y(x)=−4e−2x+4=4(1−e−2x). Elle tend vers 4 quand x tend vers +∞.
On obtient y(x)=4(1−e−2x), avec C=−4.
Exercice 3 Refroidissement d'une boisson
★★☆Environ 12 min
La température T (en °C) d'une boisson, t minutes après sa préparation, vérifie T′=−0,1T+2. À t=0, la boisson est à 80 °C.
Détermine T(t).
Calcule la température au bout de 10 minutes, arrondie au centième.
Indice 1
La solution constante est la température d'équilibre.
Indice 2
Utilise e−1 pour t=10.
Voir la correction pas à pas
Ici a=−0,1 et b=2. La solution constante est −−0,12=20.
La solution générale est T(t)=Ce−0,1t+20.
La condition T(0)=80 donne C+20=80, donc C=60 et T(t)=60e−0,1t+20.
Pour t=10 : T(10)=60e−1+20≈42,07.
Au bout de 10 minutes, la boisson est à environ 42,07 °C. Elle se rapproche de 20 °C sans jamais descendre en dessous.
Exercice 4 Retrouver l'équation à partir d'une solution
★★★Environ 12 min
La fonction f(x)=5e2x−3 est solution d'une équation de la forme y′=ay+b. Détermine a puis b, et donne la valeur de b.
Indice 1
Dérive f et compare avec af+b.
Indice 2
Identifie les coefficients de e2x, puis les termes constants.
Voir la correction pas à pas
On dérive : f′(x)=10e2x.
On calcule af(x)+b=5ae2x−3a+b.
L'égalité doit être vraie pour tout x : on identifie le coefficient de e2x : 5a=10, donc a=2.
On identifie les termes constants : −3a+b=0, donc b=3a=6.
L'équation est y′=2y+6. Contrôle : la solution constante est −3, ce qui correspond bien au terme constant de f.
L'équation est y′=2y+6, avec a=2 et b=6.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Ici a=2 et b=−6, donc la solution constante est −ab=−2−6=3 : les solutions sont Ce2x+3. La réponse avec −3 vient d'un oubli du signe de b ; celle avec e−2x change le signe de a ; celle avec +6 oublie de diviser par a.
Vrai : sa dérivée est nulle et a×(−ab)+b=0. Une fonction constante n'est pas solution en général ; elle l'est seulement si ay+b=0, ce qui est exactement le cas pour y=−ab.
La solution constante est −48=−2, donc y(x)=Ce4x−2. Avec y(0)=5 : C−2=5, donc C=7. Trouver 3 revient à écrire +2 au lieu de −2 pour la constante.
Ici a=−1 et b=1 : les solutions sont Ce−x+1. La fonction 1 correspond à C=0 et 1+3e−x à C=3. La fonction e−x n'est pas solution : sa dérivée est −e−x, alors que −e−x+1 est différent. La fonction 1+ex a un exposant de mauvais signe.
Sous forme standard, y′=−3y+6 : a=−3 et b=6, donc −ab=2. On peut le vérifier : avec y=2, y′+3y=0+6=6. La valeur −2 vient d'une confusion sur le signe de a ; 18 vient d'une multiplication au lieu d'une division.
Faux : la condition fixe la constante C, donc il existe une seule solution. L'infinité de solutions concerne l'équation seule, sans condition. Les deux situations sont à distinguer.
Solution générale : Ce−x+4. La condition C+4=1 donne C=−3. La réponse avec +3 oublie que C=1−4 ; celle avec ex change l'exposant ; la dernière oublie d'utiliser la condition initiale.
Les solutions sont Ce−2x+3. Comme a=−2<0, e−2x tend vers 0 et chaque solution tend vers 3. La limite 0 serait celle de y′=−2y sans second membre ; 6 est le coefficient b lu sans le diviser par a.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi faut-il que a soit différent de 0 ?
La solution constante est −ab, qui n'existe pas si a=0. Dans ce cas l'équation devient y′=b : les solutions sont les primitives d'une constante, c'est-à-dire x↦bx+C. Cela relève du chapitre sur les primitives 1, pas d'une exponentielle.
Comment savoir si je dois utiliser une solution constante ?
Dès que le second membre de l'équation est un nombre constant (b réel), on cherche d'abord une solution constante. Pour un second membre qui dépend de x, la méthode change et n'est pas traitée sur cette page. Le principe général reste de trouver une solution particulière puis de lui ajouter les solutions de l'équation sans second membre 6.
Que représente la constante C ?
C est un réel quelconque qui paramètre la famille de solutions. Chaque valeur de C donne une courbe différente. Elle correspond à l'écart initial entre la solution et la solution constante : C=y(0)+ab. Une condition initiale permet de la calculer.
Est-ce que je dois savoir démontrer le théorème ?
La démonstration n'est pas à réciter par cœur, mais la comprendre aide à retenir le résultat : on se ramène à z′=az en posant z=y+ab. En pratique, on retient surtout la forme Ceax−ab et la méthode en étapes. Pour savoir ce qui est évalué à l'examen, consulte le programme officiel et les textes du BO de ta session : certaines parties du chapitre ont déjà été retirées de l'épreuve écrite 4.
Comment vérifier mon résultat rapidement ?
Dérive ta solution et remplace-la dans ay+b. Les deux expressions doivent être égales pour tout x. Contrôle ensuite la condition initiale en remplaçant x par la valeur donnée. En deux minutes, tu repères les erreurs de signe, qui sont de loin les plus fréquentes.