Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac
Équations différentielles y' = ay + b : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- On résout y' = ay + b (avec a ≠ 0) en trouvant d'abord la solution constante .
- Les solutions sont toutes les fonctions , où est un réel quelconque.
- Une condition initiale fixe la constante : la solution devient unique.
- Vérifie toujours ton résultat en le dérivant et en le replaçant dans l'équation.
Ce qu'il faut savoir avant de commencer
Au programme de Terminale, la section « primitives et équations différentielles » présente d'abord l'équation , qui repose sur la notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle 2. Elle étudie ensuite l'équation , où est un nombre réel, avec l'allure des courbes, puis l'équation avec , pour laquelle on cherche d'abord une solution particulière constante 2.
La méthode de résolution
Démonstration · Pourquoi cette forme ?
Soit une solution et posons . Alors .
La fonction vérifie donc , d'où et . Réciproquement, ces fonctions sont bien solutions : leur dérivée vaut , et .
Un exemple rédigé
Pièges à éviter
À savoir pour les évaluations
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Une constante convient si , donc . La réponse vient d'une erreur de signe en appliquant : ici , donc .
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La constante vaut , donc . Avec , on a oublié le signe moins ; avec seul, on a oublié le terme constant.
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Vrai : la condition donne une équation du premier degré en , qui a une unique solution. On pourrait croire qu'il reste une infinité de fonctions, mais c'est avant la condition initiale que est libre.
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On résout , donc . Le piège est de donner en oubliant le signe de .
Les questions qu'on se pose
Pourquoi cherche-t-on d'abord une solution constante ?
Parce qu'elle est facile à trouver : la dérivée d'une constante est nulle, donc il reste à résoudre . Cette solution particulière permet ensuite de retrouver toutes les autres, car il suffit d'une solution particulière pour les connaître toutes 6.
Que se passe-t-il si a = 0 ?
L'équation devient . On n'utilise plus l'exponentielle : on cherche une primitive de la constante , ce qui donne . C'est pourquoi la méthode du cours impose 2.
Comment vérifier mon résultat rapidement ?
Dérive ta fonction, puis calcule avec ta fonction. Les deux expressions doivent être identiques pour tout . Vérifie aussi la condition initiale si l'énoncé en donne une.
Sources
Programme visé : Programme de spécialité de mathématiques de Terminale générale · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse
- Programme de spécialité de mathématiques de Terminale générale, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
- Primitives et équations différentielles - Ressource Éduscol, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Introduction aux équations différentielles - Fiche Édubase, Édubase - Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Adaptation de l'épreuve de spécialité mathématiques Terminale (BO), Bulletin officiel - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Projet d'aménagement du programme de mathématiques Terminale générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Équation différentielle linéaire d'ordre un, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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