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Primitives : cours de Terminale spécialité maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une primitive de $f$ sur un intervalle est une fonction $F$ dérivable telle que $F' = f$ ; chercher une primitive, c'est dériver à l'envers.²
Une fonction continue sur un intervalle admet des primitives, et il y en a une infinité : elles diffèrent toutes d'une constante.²³
Pour obtenir une seule primitive, il faut une condition : la valeur de la primitive en un point.³
On reconnaît la forme de $f$ (puissance, exponentielle, $u'u^n$ , $\dfrac{u'}{u}$ …), on propose $F$ , puis on vérifie en dérivant.
Les primitives servent à calculer des intégrales et à résoudre des équations différentielles.²

Pourquoi chercher des primitives ?

Depuis la classe de Première, tu sais dériver : à partir d'une fonction $f$ , tu fabriques sa fonction dérivée $f'$ , qui donne le coefficient directeur de la tangente en chaque point. Dans ce chapitre, on fait le chemin inverse. On te donne une fonction, et on te demande : de quelle fonction est-elle la dérivée ?

Cette question n'est pas un simple jeu. La recherche d'une primitive sert d'abord à calculer des intégrales de fonctions continues sur un segment.² Elle intervient aussi dans la résolution de certaines équations différentielles.² Ce chapitre prépare donc directement les suivants : calcul intégral, puis équations différentielles du type $y' = ay + b$ .

Le calcul d'une primitive est une opération de base de l'analyse. Elle est plus délicate que la dérivation, et c'est pourquoi on s'appuie souvent sur des tables de primitives connues.³ Tu vas donc apprendre :

ce qu'est exactement une primitive ;
pourquoi une fonction en a une infinité, et comment elles se relient entre elles ;
les primitives des fonctions usuelles et les règles pour les combiner ;
comment trouver la primitive qui vérifie une condition donnée ;
les erreurs que l'on fait le plus souvent.

Définition d'une primitive

Une infinité de primitives

Reprenons $f(x) = 2x$ . La fonction $x \mapsto x^2$ est une primitive. Mais $x \mapsto x^2 + 1$ aussi, et $x \mapsto x^2 - 5$ , et $x \mapsto x^2 + \pi$ : la dérivée d'une constante est nulle, donc ajouter une constante ne change pas la dérivée.

On en déduit un fait fondamental : une fonction donnée n'a pas une primitive unique.² Cela explique d'ailleurs qu'il n'existe pas de notation « prime » pour les primitives, comme il en existe une pour la dérivée.²

Démonstration · Pourquoi toutes les primitives diffèrent d'une constante

Première partie. Si $F' = f$ et si $C$ est un réel, alors $(F + C)' = F' + 0 = f$ . Donc $F + C$ est une primitive.

Seconde partie. Soit $G$ une autre primitive de $f$ sur $I$ . Posons $D = G - F$ . Alors $D' = G' - F' = f - f = 0$ sur $I$ . On admet ici qu'une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante. Donc $D$ est constante, égale à un réel $C$ , et $G = F + C$ .

Des primitives de x ↦ x qui se déduisent par translation · Les courbes de x²/2 − 1, x²/2 et x²/2 + 1, primitives de la fonction f(x) = x.

Sur le graphique, toutes les courbes se déduisent de l'une d'elles par une translation verticale. Elles ne se croisent jamais : en chaque abscisse, leurs tangentes ont la même pente, puisqu'elles ont la même dérivée $f$ .

Existence d'une primitive

Ce théorème est admis en Terminale. Il te garantit qu'une primitive existe, mais il ne te dit pas comment l'écrire. Pour certaines fonctions, on sait écrire la primitive avec les fonctions usuelles ; pour d'autres, aucune combinaison de fonctions usuelles ne convient, même si la primitive existe.² Dans les exercices de Terminale, les fonctions sont toujours choisies pour que la primitive soit calculable.

Les primitives des fonctions usuelles

Chaque ligne du tableau se vérifie par une simple dérivation, que tu connais depuis la Première. Par exemple, la dérivée de $x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ est $\dfrac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$ . Dans le tableau, $C$ désigne une constante réelle quelconque, qui n'est fixée que si l'on connaît la valeur de la primitive en un point.³

Primitives des fonctions usuelles
Fonction f(x)	Une primitive F(x) (à + C près)
a (constante)	a x
x	x²/2
x^n (n entier ≥ 0)	x^(n+1)/(n+1)
1/x² (x ≠ 0)	−1/x
1/√x (x > 0)	2√x
1/x (x > 0)	ln(x)
e^x	e^x
cos(x)	sin(x)
sin(x)	−cos(x)

Primitives des fonctions usuelles

Opérations sur les primitives

On ne dispose pas de règle générale pour une primitive d'un produit ou d'un quotient : la primitive de $f \times g$ n'est pas $F \times G$ . En revanche, la dérivée d'une fonction composée donne des formes à reconnaître, qui reviennent sans cesse au bac.

PropriétéFormes à reconnaître

Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$ . Sur un intervalle où les expressions sont définies :

Forme de $f$	Une primitive de $f$
$u'\,u^n$ ( $n \neq -1$ entier)	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u'}{u^2}$	$-\dfrac{1}{u}$ (avec $u \neq 0$ )
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln\lvert u\rvert$ (avec $u \neq 0$ )
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$ (avec $u > 0$ )
$u'\,e^{u}$	$e^{u}$
$u'\cos(u)$	$\sin(u)$
$u'\sin(u)$	$-\cos(u)$

Chaque ligne se justifie en dérivant la primitive proposée avec la formule de dérivation d'une fonction composée.

Démonstration · Vérification de la forme $u'\,u^n$

Posons $F = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ . Alors $F' = \dfrac{(n+1)\,u^{n}\,u'}{n+1} = u'\,u^n$ . Donc $F$ est bien une primitive de $u'\,u^n$ .

Trouver une primitive qui vérifie une condition

Le réel $C$ ne peut être précisé que si l'on connaît la valeur de la primitive en un point.³ C'est le rôle des énoncés du type « déterminer la primitive $F$ de $f$ qui vérifie $F(1) = 2$ ». Une seule valeur suffit, parce qu'il n'y a qu'une constante inconnue.

Démonstration · Pourquoi une seule

Si $F_0$ est une primitive de $f$ , les primitives sont les fonctions $F_0 + C$ . La condition s'écrit $F_0(x_0) + C = y_0$ , soit $C = y_0 - F_0(x_0)$ . Cette équation a une unique solution : la primitive cherchée est donc unique.

PrimitiverÉcrire F(x) = ... + C avec les formules.
RemplacerPoser x = x₀ dans F(x).
RésoudreÉgaler à y₀ et trouver C.
ConclureÉcrire F avec la valeur de C.

Trouver la primitive qui vérifie F(x₀) = y₀

Pièges, bonnes pratiques et suite du programme

Les primitives servent de base à la résolution de certaines équations différentielles.² Dans le chapitre qui suit, tu rencontreras des équations de la forme $y' = ay + b$ puis $y' = ay + f$ . Savoir dériver à l'envers, repérer la forme d'une fonction et fixer une constante avec une condition initiale y sera constamment utile.

À l'écrit du bac, une question « déterminer une primitive de $f$ » se corrige très vite si tu respectes la routine : reconnaître, proposer, dériver pour contrôler. C'est une source de points faciles, à condition de ne pas se tromper sur les formes.

Exercices corrigés

Exercice 1 Primitive d'un polynôme avec condition

★☆☆Environ 8 min

Soit $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Donne la forme générale des primitives de $f$ .
Détermine la primitive $F$ de $f$ telle que $F(1) = 2$ .
Calcule $F(2)$ .

Indice 1

Traite chaque terme séparément : $3x^2$ , $-4x$ et $5$ .

Indice 2

Pour la condition, remplace $x$ par $1$ dans la forme générale et résous l'équation en $C$ .

Voir la correction pas à pas

La primitive de $3x^2$ est $x^3$ , celle de $-4x$ est $-2x^2$ , celle de $5$ est $5x$ . Les primitives de $f$ sont donc $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C$ .
On applique $F(1) = 2$ : $1 - 2 + 5 + C = 2$ , soit $4 + C = 2$ , donc $C = -2$ .
Ainsi $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 2$ .
On calcule $F(2) = 8 - 8 + 10 - 2 = 8$ .

La primitive cherchée est $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 2$ et $F(2) = 8$ .

Exercice 2 Reconnaître $u'e^u$

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Reconnais la forme de $f$ et donne une primitive.
Détermine la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0) = 3$ .
Donne la valeur exacte de $F(1)$ , puis une valeur approchée au centième.

Indice 1

Pose $u(x) = x^2$ et calcule $u'(x)$ .

Indice 2

Une primitive de $u'e^u$ est $e^u$ .

Voir la correction pas à pas

Avec $u(x) = x^2$ , on a $u'(x) = 2x$ , donc $f = u'e^u$ .
Les primitives de $f$ sont $F(x) = e^{x^2} + C$ .
La condition $F(0) = 3$ donne $e^0 + C = 3$ , soit $1 + C = 3$ , donc $C = 2$ .
On obtient $F(x) = e^{x^2} + 2$ , d'où $F(1) = e + 2 \approx 4{,}72$ .

$F(x) = e^{x^2} + 2$ et $F(1) = e + 2 \approx 4{,}72$ .

Exercice 3 Une puissance d'une fonction

★★★Environ 12 min

Soit $f(x) = (2x+1)(x^2+x+3)^3$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $f$ est de la forme $u'u^n$ pour une fonction $u$ à préciser.
En déduire la primitive $F$ de $f$ qui s'annule en $0$ .
Calcule $F(1)$ .

Indice 1

Dérive $x^2 + x + 3$ et compare avec le facteur $2x+1$ .

Indice 2

Une primitive de $u'u^3$ est $\dfrac{u^4}{4}$ ; ensuite, impose $F(0)=0$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x) = x^2 + x + 3$ . Alors $u'(x) = 2x + 1$ et $f = u'u^3$ .
Les primitives sont $F(x) = \dfrac{(x^2+x+3)^4}{4} + C$ .
Comme $u(0) = 3$ , la condition $F(0)=0$ donne $\dfrac{81}{4} + C = 0$ , donc $C = -\dfrac{81}{4}$ .
Alors $F(1) = \dfrac{5^4}{4} - \dfrac{81}{4} = \dfrac{625 - 81}{4} = \dfrac{544}{4} = 136$ .

$F(x) = \dfrac{(x^2+x+3)^4 - 81}{4}$ et $F(1) = 136$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi faut-il ajouter une constante $C$ ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle : si $F$ est une primitive de $f$ , alors $F + C$ aussi, pour tout réel $C$ . Il y a donc une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.³ La constante n'est fixée que si l'énoncé donne la valeur de la primitive en un point.³

Comment savoir si ma primitive est juste ?

Dérive-la. Si tu retrouves exactement la fonction de départ, c'est une primitive, même si ta réponse ne ressemble pas à celle du corrigé. Elle peut en effet différer de la sienne par une constante. Pense à vérifier aussi la condition $F(x_0)=y_0$ si elle est demandée.

À quoi servent les primitives ?

Elles servent à calculer des intégrales de fonctions continues sur un segment.² Elles interviennent aussi dans la résolution de certaines équations différentielles, comme celles du chapitre suivant.²

Toutes les fonctions ont-elles une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive.² Mais cette primitive ne s'écrit pas toujours à l'aide des fonctions usuelles.² Dans les exercices de Terminale, on te donne des fonctions dont la primitive se calcule avec les formules du cours.

Y a-t-il une règle pour la primitive d'un produit ?

Non, pas de formule simple : la primitive de $f\times g$ n'est pas le produit des primitives. On cherche plutôt à reconnaître une forme comme $u'u^n$ ou $u'e^u$ . Si le produit ne correspond à aucune forme, l'énoncé t'indique en général une primitive à vérifier.

Sources

Programme visé : Primitives et équations différentielles · Ministère de l'Éducation nationale - Bulletin officiel

Primitives et équations différentielles, Ministère de l'Éducation nationale - Bulletin officiel. Consulté le 6 novembre 2026.
Primitive, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Table de primitives, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Primitive d'un polynôme avec condition

Exercice 2 Reconnaître $u'e^u$

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Quiz

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