Primitives : exercices corrigés de Terminale spécialité

On cherche une fonction dont la dérivée est $6x^2$ : $2x^3$ convient, car $(2x^3)' = 6x^2$.

Pour $-4x$ : $-2x^2$ convient, car $(-2x^2)' = -4x$.

Pour $1$ : $x$ convient, car $x' = 1$.

Les primitives de $f$ sont donc les fonctions $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C$, où $C$ est une constante réelle ³.

Contrôle : $F'(x) = 6x^2 - 4x + 1 = f(x)$. C'est bon.

On impose $F(0) = 3$ : $F(0) = 0 - 0 + 0 + C = C$, donc $C = 3$.

La primitive demandée est $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 3$.

On calcule $F(2) = 2 \times 8 - 2 \times 4 + 2 + 3 = 16 - 8 + 2 + 3 = 13$.

On dérive $x^4 + x^2$ : on obtient $4x^3 + 2x$, c'est-à-dire $f(x)$. La forme générale des primitives est donc $F(x) = x^4 + x^2 + C$ ³.

On utilise la condition : $F(1) = 1^4 + 1^2 + C = 2 + C$.

Comme $F(1) = 5$, on résout $2 + C = 5$, donc $C = 3$.

Conclusion : $F(x) = x^4 + x^2 + 3$.

On pose $u(x) = 3x - 2$ et $v(x) = e^{x}$ : $u'(x) = 3$ et $v'(x) = e^{x}$.

Formule du produit : $F'(x) = u'v + uv' = 3e^{x} + (3x - 2)e^{x} = (3x + 1)e^{x}$.

On retrouve $f(x)$ : l'élève a raison, $F$ est bien une primitive de $f$ ².

Toutes les primitives sont les fonctions $x \mapsto (3x - 2)e^{x} + C$ ³.

La condition $G(0) = 4$ donne $(0 - 2) \times 1 + C = 4$, donc $C = 6$ et $G(x) = (3x - 2)e^{x} + 6$.

Pour $x = 1$ : $G(1) = (3 - 2)e + 6 = e + 6 \approx 8{,}72$.

La fonction $\dfrac{1}{x^2}$ n'est pas définie en $0$ : on travaille donc sur un intervalle où $x \neq 0$, ici $]0\,;+\infty[$.

Pour $2x$ : $x^2$ convient, car $(x^2)' = 2x$.

Pour $\dfrac{1}{x^2}$ : on teste $-\dfrac{1}{x}$. Sa dérivée est $+\dfrac{1}{x^2}$, donc ça convient.

Les primitives de $f$ sont $F(x) = x^2 - \dfrac{1}{x} + C$ ³.

Condition $F(1) = 0$ : $1 - 1 + C = 0$, donc $C = 0$.

Ainsi $F(x) = x^2 - \dfrac{1}{x}$ et $F(2) = 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$.

On pose $u(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$ et $G = u^4$.

Dérivée d'une composée : $G'(x) = 4u'(x)\,u(x)^3 = 8x\,(x^2 + 1)^3$.

On compare avec $f(x) = 2x\,(x^2 + 1)^3$ : $G' = 4f$, donc $f = \dfrac{1}{4}G'$.

Une primitive de $f$ est donc $\dfrac{1}{4}(x^2 + 1)^4$, et toutes les primitives sont $F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4} + C$ ³.

Condition $F(0) = 1$ : $\dfrac{1}{4} + C = 1$, donc $C = \dfrac{3}{4}$.

Alors $F(1) = \dfrac{2^4}{4} + \dfrac{3}{4} = 4 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{19}{4} = 4{,}75$.

On teste $H(x) = 3\sin(x) + \cos(x)$.

On dérive : $H'(x) = 3\cos(x) - \sin(x) = f(x)$. Le candidat est valable.

Toutes les primitives sont $F(x) = 3\sin(x) + \cos(x) + C$ ³.

Condition $F(0) = 4$ : $3 \times 0 + 1 + C = 4$, donc $C = 3$.

Ainsi $F(x) = 3\sin(x) + \cos(x) + 3$.

En $\dfrac{\pi}{2}$ : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ et $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, donc $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3 + 0 + 3 = 6$.

Comme $x' = v$, la fonction $x$ est par définition une primitive de $v$ ².

On cherche : $t^3$ a pour dérivée $3t^2$ et $2t$ a pour dérivée $2$. Donc $x(t) = t^3 + 2t + C$ ³.

Condition $x(0) = 5$ : $0 + 0 + C = 5$, donc $C = 5$.

D'où $x(t) = t^3 + 2t + 5$.

À $t = 2$ : $x(2) = 8 + 4 + 5 = 17$.

On pose $u(x) = x^2 + 1$. Pour tout réel $x$, $u(x) \geq 1 > 0$, donc $\ln(u(x))$ est bien défini sur $\mathbb{R}$.

$G'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2x}{x^2 + 1} = 2f(x)$.

Donc $f = \dfrac{1}{2}G'$ et $\dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1)$ est une primitive de $f$.

Les primitives de $f$ sont $F(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ ³.

Condition $F(0) = 2$ : $\dfrac{1}{2}\ln(1) + C = 2$, donc $C = 2$.

Alors $F(1) = \dfrac{1}{2}\ln(2) + 2 \approx 0{,}347 + 2 = 2{,}347$.

On dérive $F$ : $F'(x) = 2x + 3 = f(x)$, donc $F$ est une primitive de $f$ ².

On développe $G(x) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$, donc $G'(x) = 2x + 3 = f(x)$ : $G$ aussi est une primitive de $f$.

Différence : $G(x) - F(x) = (x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 3x) = 2$. Elle vaut $2$ pour tout $x$ réel.

Il n'y a aucune contradiction : une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante ³. Ici $G = F + 2$, ce qui correspond au cas $C = 2$.

Cela explique aussi pourquoi on ne parle pas de « la » primitive sans condition supplémentaire : il n'y a pas unicité ².