Suites et algorithmes : exercices corrigés de Terminale spécialité

Calcul de $u_1$ : $u_1=2\times 3-1=5$.

Calcul de $u_2$ : $u_2=2\times 5-1=9$.

Calcul de $u_3$ : $u_3=2\times 9-1=17$.

Exécution de l'algorithme : la boucle s'exécute 4 fois (k vaut 0, 1, 2, 3). Après le 1er tour u vaut 5, après le 2e tour 9, après le 3e tour 17, après le 4e tour $2\times 17-1=33$.

Conclusion : u vaut 33 à la fin, et ce nombre est $u_4$, car on part de $u_0$ et on applique la relation 4 fois.

Relation de récurrence : une hausse de 4 % multiplie par $1{,}04$, donc $u_{n+1}=1{,}04\,u_n$.

La suite est géométrique de raison $1{,}04$ et de premier terme 5000, donc $u_n=5000\times 1{,}04^n$.

Condition de boucle : on cherche $u_n>10000$, on boucle donc tant que u <= 10000. Dans la boucle, u = 1.04*u.

Résolution par le calcul : $5000\times1{,}04^n>10000 \iff 1{,}04^n>2 \iff n\ln(1{,}04)>\ln 2$. Comme $\ln(1{,}04)>0$, on obtient $n>\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}04}\approx 17{,}67$.

Le plus petit entier convenable est 18. Contrôle : $1{,}04^{17}\approx1{,}948<2$ et $1{,}04^{18}\approx2{,}026>2$.

Tour 1 : n = 1, S = 1. Tour 2 : n = 2, S = 3. Tour 3 : n = 3, S = 6. Tour 4 : n = 4, S = 10.

Interprétation : après $n$ tours, S vaut $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

On cherche le plus petit $n$ tel que $\dfrac{n(n+1)}{2}\ge 100$.

Pour $n=13$ : $\dfrac{13\times14}{2}=91<100$, la boucle continue.

Pour $n=14$ : $\dfrac{14\times15}{2}=105\ge100$, la condition S < 100 devient fausse et la boucle s'arrête.

Pour tout $n$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac12u_n+3-6=\dfrac12u_n-3=\dfrac12(u_n-6)=\dfrac12v_n$.

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0=20-6=14$. Donc $v_n=14\left(\dfrac12\right)^n$ et $u_n=6+14\left(\dfrac12\right)^n$.

Limite : comme $0<\dfrac12<1$, $\left(\dfrac12\right)^n\to0$, donc $u_n\to6$.

Algorithme :

u = 20
n = 0
while abs(u - 6) >= 0.01:
    u = u/2 + 3
    n = n + 1

À la sortie, n est le plus petit rang tel que $|u_n-6|<0{,}01$.

Résolution : $14\left(\dfrac12\right)^n<0{,}01 \iff 2^n>1400$. Or $2^{10}=1024<1400$ et $2^{11}=2048>1400$, donc $n=11$.

Contrôle : $u_{10}=6+\dfrac{14}{1024}\approx6{,}0137$ (écart trop grand) et $u_{11}=6+\dfrac{14}{2048}\approx6{,}0068$ (écart inférieur à 0,01).

Calculs : $u_1=0+1=1$, $u_2=1+3=4$, $u_3=4+5=9$, $u_4=9+7=16$.

Conjecture : ce sont les carrés des entiers, donc $u_n=n^2$.

Initialisation : pour $n=0$, $u_0=0=0^2$, la propriété est vraie.

Hérédité : on suppose que $u_n=n^2$ pour un entier $n$ fixé. Alors $u_{n+1}=u_n+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc $u_n=n^2$ pour tout entier naturel $n$.

Application : $u_{20}=20^2=400$. On peut le vérifier avec un algorithme qui additionne les termes $2k+1$ pour $k$ de 0 à 19.

Une augmentation de 3 % multiplie par 1,03, puis on retranche 50 : $u_{n+1}=1{,}03\,u_n-50$.

Point fixe : $\ell=1{,}03\,\ell-50 \iff 0{,}03\,\ell=50 \iff \ell=\dfrac{5000}{3}$.

Pour $v_n=u_n-\dfrac{5000}{3}$ : $v_{n+1}=1{,}03\,u_n-50-\dfrac{5000}{3}=1{,}03\left(u_n-\dfrac{5000}{3}\right)=1{,}03\,v_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}03$ et $v_0=1000-\dfrac{5000}{3}=-\dfrac{2000}{3}$.

On en déduit $u_n=\dfrac{5000}{3}-\dfrac{2000}{3}\times1{,}03^n$.

Signe : $u_n<0 \iff \dfrac{2000}{3}\times1{,}03^n>\dfrac{5000}{3} \iff 1{,}03^n>2{,}5 \iff n>\dfrac{\ln 2{,}5}{\ln 1{,}03}\approx30{,}998$.

Le plus petit entier est $n=31$. Contrôle : $1{,}03^{30}\approx2{,}4273<2{,}5$ et $1{,}03^{31}\approx2{,}5001>2{,}5$ (de justesse).

Algorithme :

u = 1000
n = 0
while u >= 0:
    u = 1.03*u - 50
    n = n + 1

À la sortie, n vaut 31.

Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=\sqrt2\approx1{,}414$, donc $0\le u_0\le u_1\le2$.

Hérédité : on suppose $0\le u_n\le u_{n+1}\le2$. En ajoutant 2, $2\le2+u_n\le2+u_{n+1}\le4$. La racine carrée étant croissante, $\sqrt2\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le2$, ce qui entraîne $0\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le2$.

La suite est croissante et majorée par 2 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $\ell\le2$.

Limite : en passant à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ (fonction continue), $\ell=\sqrt{2+\ell}$, donc $\ell^2=\ell+2$, soit $\ell^2-\ell-2=0$. Les racines sont $-1$ et $2$. Comme $\ell\ge0$, on a $\ell=2$.

Algorithme :

from math import sqrt
u = 0
n = 0
while 2 - u >= 0.001:
    u = sqrt(2 + u)
    n = n + 1

Valeurs : $u_1\approx1{,}4142$, $u_2\approx1{,}8478$, $u_3\approx1{,}9616$, $u_4\approx1{,}9904$, $u_5\approx1{,}99759$, $u_6\approx1{,}99940$. On a $2-u_5\approx0{,}0024$ (trop grand) et $2-u_6\approx0{,}0006<0{,}001$.

Le rang cherché est donc $n=6$.

Calculs : $u_1=\dfrac22+\dfrac12=\dfrac32$, puis $u_2=\dfrac34+\dfrac23=\dfrac{9+8}{12}=\dfrac{17}{12}$.

Pour $u_n>0$ : $u_{n+1}-\sqrt2=\dfrac{u_n}{2}+\dfrac1{u_n}-\sqrt2=\dfrac{u_n^2+2-2\sqrt2\,u_n}{2u_n}=\dfrac{(u_n-\sqrt2)^2}{2u_n}$.

Ce quotient est positif ou nul (carré divisé par un nombre strictement positif), donc $u_{n+1}\ge\sqrt2$. Comme $u_0=2>0$ et que $u_{n+1}$ est somme de deux termes strictement positifs dès que $u_n>0$, une récurrence immédiate montre que tous les termes sont strictement positifs.

Les termes à partir de $u_1$ sont tous supérieurs ou égaux à $\sqrt2$ ; on compare donc $u_n$ à $\sqrt2$ sans valeur absolue.

Algorithme :

from math import sqrt
u = 2
n = 0
while u - sqrt(2) >= 1e-6:
    u = u/2 + 1/u
    n = n + 1

Valeurs : $u_0=2$, $u_1=1{,}5$, $u_2\approx1{,}416667$, $u_3=\dfrac{577}{408}\approx1{,}4142157$, $u_4\approx1{,}4142136$.

Écarts : $u_3-\sqrt2\approx2{,}1\times10^{-6}$ (supérieur à $10^{-6}$) et $u_4-\sqrt2\approx1{,}6\times10^{-12}$ (inférieur). Donc $n=4$.