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Théorèmes de comparaison et convergence monotone : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Comparaison : si $u_n \geq v_n$ à partir d'un rang et $v_n \to +\infty$ , alors $u_n \to +\infty$ ; si $u_n \leq w_n$ et $w_n \to -\infty$ , alors $u_n \to -\infty$ . Elle ne sert que dans ce sens.
Gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $v_n$ , $w_n$ ont la même limite finie $\ell$ , alors $u_n \to \ell$ . Variante : $|u_n - \ell| \leq v_n$ avec $v_n \to 0$ .
Convergence monotone : une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. Croissante non majorée : elle tend vers $+\infty$ .
Le majorant n'est pas la limite : on trouve la limite en résolvant $\ell = f(\ell)$ quand $u_{n+1} = f(u_n)$ .
Méthode type : récurrence pour prouver la monotonie et la borne, théorème de convergence monotone, puis équation sur la limite.

Pourquoi comparer des suites ?

Pour beaucoup de suites, calculer la limite directement est impossible. Prends $u_n = n^2 + 3\sin n$ : le terme $\sin n$ oscille sans qu'on sache lui donner une limite, donc les règles sur les sommes de limites ne s'appliquent pas. Pourtant, l'intuition dit que $n^2$ domine et que $u_n$ tend vers $+\infty$ .

Les théorèmes de ce chapitre transforment cette intuition en preuve. Ils reposent sur une idée simple : si on connaît le comportement d'une suite, on peut en déduire celui d'une autre qui lui est coincée ou comparée. Les outils sont :

le théorème de comparaison, pour les limites infinies ;
le théorème des gendarmes, pour les limites finies ;
le théorème de convergence monotone, qui garantit qu'une suite converge sans qu'on sache encore vers quoi.

Tu les utiliseras après le raisonnement par récurrence, qui sert à prouver qu'une suite est croissante ou majorée, et après le chapitre sur les limites de suites, dont tu connais déjà les opérations. Ils préparent aussi l'étude des suites avec des algorithmes de seuil, qui viendra ensuite.

Rappels : limites, suites bornées, suites monotones

Le théorème de comparaison (limites infinies)

Lis ce théorème avec les mots : la plus petite des deux suites tend vers $+\infty$ , donc la plus grande aussi. Dans le cas $-\infty$ , c'est l'inverse : la plus grande tend vers $-\infty$ , donc la plus petite aussi. On pousse toujours dans la direction de l'infini visé.

Démonstration · Démonstration du premier point

Soit $A$ un réel quelconque. Il faut montrer que tous les termes $u_n$ sont dans $]A\,;+\infty[$ à partir d'un certain rang.

Par hypothèse, il existe un rang $N_0$ tel que $u_n \geq v_n$ pour $n \geq N_0$ . Comme $v_n \to +\infty$ , l'intervalle $]A\,;+\infty[$ contient tous les $v_n$ à partir d'un rang $N_1$ : on a $v_n > A$ pour $n \geq N_1$ .

Pour $n \geq \max(N_0, N_1)$ , on obtient $u_n \geq v_n > A$ . L'intervalle $]A\,;+\infty[$ contient donc tous les $u_n$ à partir de ce rang. Comme $A$ est quelconque, $u_n \to +\infty$ .

Le théorème des gendarmes (limites finies)

L'image est celle de deux gendarmes qui encadrent un prisonnier : s'ils vont au même endroit, le prisonnier aussi. Les deux suites d'encadrement doivent avoir exactement la même limite. Avec deux limites différentes, l'encadrement ne dit rien.

Démonstration · Démonstration

Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $\ell$ , noté $]a\,;b[$ avec $a < \ell < b$ .

Il existe un rang $N_0$ tel que $v_n \leq u_n \leq w_n$ pour $n \geq N_0$ . Comme $v_n \to \ell$ , il existe $N_1$ tel que $v_n \in I$ , donc $v_n > a$ , pour $n \geq N_1$ . Comme $w_n \to \ell$ , il existe $N_2$ tel que $w_n < b$ pour $n \geq N_2$ .

Pour $n \geq \max(N_0, N_1, N_2)$ , on a

$a < v_n \leq u_n \leq w_n < b,$

donc $u_n \in I$ . L'intervalle $I$ contient tous les termes de $(u_n)$ à partir d'un certain rang, et ce raisonnement vaut pour tout intervalle ouvert contenant $\ell$ : $u_n \to \ell$ .

Le théorème de convergence monotone

Les deux théorèmes précédents demandent de trouver une suite de comparaison. Celui-ci ne demande rien de tel : il utilise seulement la forme de la suite, croissante ou décroissante, et une borne.

Cherche l'idée derrière l'énoncé : une suite croissante ne peut que monter. Si un plafond l'empêche de monter indéfiniment, elle s'accumule forcément quelque part sous ce plafond. Si rien ne la limite, elle finit par dépasser n'importe quel nombre.

Démonstration · Démonstration du cas croissant non majoré

Soit $(u_n)$ croissante et non majorée, et soit $A$ un réel. Comme $A$ ne majore pas la suite, il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$ . La suite étant croissante, pour tout $n \geq N$ on a $u_n \geq u_N > A$ . L'intervalle $]A\,;+\infty[$ contient donc tous les termes à partir du rang $N$ : $u_n \to +\infty$ .

Le cas décroissant non minoré s'obtient en appliquant ce résultat à la suite $(-u_n)$ .

Méthode : suite définie par récurrence

Le théorème de convergence monotone sert surtout pour les suites définies par une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ . On ne dispose pas de formule explicite pour $u_n$ , mais le raisonnement par récurrence permet de prouver monotonie et borne.

ExempleExemple complet

On définit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ .

Conjecture. $u_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ et $u_2 = \sqrt{2+\sqrt 2} \approx 1{,}85$ . La suite semble croissante et majorée par $2$ .

Récurrence. Soit $P(n)$ : « $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2$ ».

Initialisation. $u_0 = 0$ , $u_1 = \sqrt 2$ , et $0 \leq \sqrt 2 \leq 2$ . Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. On suppose $P(n)$ pour un entier $n$ fixé. En ajoutant $2$ : $2 \leq 2 + u_n \leq 2 + u_{n+1} \leq 4$ . La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , donc $\sqrt 2 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 2$ , et en particulier $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 2$ . C'est $P(n+1)$ .

La propriété est initialisée et héréditaire : elle est vraie pour tout $n$ .

Convergence. La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$ avec $0 \leq \ell \leq 2$ .

Limite. Comme $x \mapsto \sqrt{2+x}$ est continue, $\ell = \sqrt{2 + \ell}$ , donc $\ell^2 = 2 + \ell$ , soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ . Les solutions sont $-1$ et $2$ . Comme $\ell \geq 0$ , on garde $\ell = 2$ .

Choisir le bon théorème et éviter les pièges

À retenirTableau de décision

Situation	Outil
On veut prouver $+\infty$ ou $-\infty$ et on sait minorer ou majorer	Comparaison
On devine une limite finie $\ell$ et on sait majorer $	u_n - \ell
Suite définie par récurrence, ni formule explicite ni encadrement simple	Convergence monotone
Produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle	Gendarmes avec une constante $M$

Exercices corrigés

Exercice 1 Une suite qui tend vers l'infini malgré un cosinus

★☆☆Environ 10 min

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n = 3n + 2\cos n$ .

Montre que $u_n \geq 3n - 2$ pour tout $n$ .
En déduire la limite de $(u_n)$ .
Quel est le plus petit entier $n$ pour lequel on est sûr, grâce à la minoration $3n-2$ , que $u_n \geq 1000$ ?

Indice 1

On sait que $\cos n \geq -1$ pour tout entier $n$ .

Indice 2

Pour la question 3, résous $3n - 2 \geq 1000$ puis prends le plus petit entier qui convient.

Voir la correction pas à pas

Pour tout entier $n$ , $\cos n \geq -1$ , donc $2\cos n \geq -2$ . En ajoutant $3n$ aux deux membres, $u_n \geq 3n - 2$ .
La suite de terme général $3n-2$ tend vers $+\infty$ . Comme $u_n \geq 3n-2$ pour tout $n$ , le théorème de comparaison donne $\lim u_n = +\infty$ .
On résout $3n - 2 \geq 1000$ , soit $3n \geq 1002$ et $n \geq 334$ . Pour $n = 334$ , $3n-2 = 1000$ : le plus petit entier est $334$ .

La minoration $u_n \geq 3n-2$ suffit : on n'avait pas besoin de connaître le comportement de $\cos n$ , seulement son minorant. Le rang $334$ est celui que garantit la minoration ; la suite peut dépasser $1000$ plus tôt.

Exercice 2 Encadrer pour trouver une limite

★★☆Environ 15 min

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = \dfrac{2n + \sin n}{n+1}$ .

Montre que, pour tout $n$ , $\dfrac{2n-1}{n+1} \leq u_n \leq \dfrac{2n+1}{n+1}$ .
Détermine la limite de chacune des deux suites d'encadrement.
Conclus sur la limite de $(u_n)$ .

Indice 1

Utilise $-1 \leq \sin n \leq 1$ , puis divise par $n+1 > 0$ .

Indice 2

Pour la limite d'un quotient de deux polynômes de même degré, divise numérateur et dénominateur par $n$ .

Voir la correction pas à pas

Pour tout $n$ , $-1 \leq \sin n \leq 1$ . En ajoutant $2n$ : $2n - 1 \leq 2n + \sin n \leq 2n + 1$ . On divise par $n+1$ , qui est strictement positif : l'ordre est conservé, d'où l'encadrement demandé.
On écrit $\dfrac{2n-1}{n+1} = \dfrac{2 - \frac1n}{1 + \frac1n}$ pour $n \geq 1$ . Le numérateur tend vers $2$ , le dénominateur vers $1$ , donc la limite est $2$ . Le même calcul donne $2$ pour $\dfrac{2n+1}{n+1}$ .
Les deux suites d'encadrement convergent vers la même limite $2$ . D'après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge vers $2$ .

Le point clé est de vérifier que les deux bornes ont la même limite. Ici le terme $\sin n$ devient négligeable devant $n$ , ce qui explique que sa présence ne change pas la limite.

Exercice 3 Une suite récurrente qui converge

★★★Environ 25 min

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = 0$ et, pour tout entier $n$ , $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ .

Calcule $u_1$ et $u_2$ , et conjecture le sens de variation et une borne.
Démontre par récurrence que, pour tout $n$ , $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$ .
En déduire que $(u_n)$ converge.
Détermine sa limite.

Indice 1

Pour l'hérédité, multiplie les inégalités par $\frac12$ puis ajoute $3$ : la fonction $x \mapsto \frac12 x + 3$ est croissante.

Indice 2

La limite $\ell$ vérifie $\ell = \frac12 \ell + 3$ .

Voir la correction pas à pas

On a $u_1 = 3$ et $u_2 = 4{,}5$ . La suite semble croissante et majorée par $6$ .
Initialisation : $u_0 = 0$ et $u_1 = 3$ , donc $0 \leq u_0 \leq u_1 \leq 6$ .
Hérédité : on suppose $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$ . En multipliant par $\frac12$ et en ajoutant $3$ : $3 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6$ . On en déduit $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6$ , c'est-à-dire $P(n+1)$ . La propriété est vraie pour tout $n$ .
La suite est croissante et majorée par $6$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$ .
La fonction $x \mapsto \frac12 x + 3$ est continue, donc $\ell = \frac12 \ell + 3$ . On obtient $\frac12 \ell = 3$ , soit $\ell = 6$ .

Ici le majorant $6$ se trouve être la limite, mais ce n'est pas une règle : c'est l'équation $\ell = f(\ell)$ qui donne la limite, le majorant ne sert qu'à prouver la convergence.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre le théorème de comparaison et le théorème des gendarmes ?

Le théorème de comparaison traite les limites infinies et ne demande qu'une seule inégalité (minoration pour $+\infty$ , majoration pour $-\infty$ ). Le théorème des gendarmes traite les limites finies et demande un encadrement avec deux suites qui ont la même limite. Si tu vises un nombre réel, pense gendarmes ; si tu vises l'infini, pense comparaison.

Comment savoir quelle inégalité écrire pour appliquer ces théorèmes ?

Regarde le terme qui t'empêche de calculer la limite, souvent $\sin n$ , $\cos n$ ou $(-1)^n$ . Il est toujours encadré par $-1$ et $1$ . Selon que tu vises $+\infty$ (minoration), $-\infty$ (majoration) ou une limite finie (encadrement), tu gardes l'une ou l'autre borne, ou les deux, puis tu opères sur l'inégalité en respectant l'ordre : multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse.

Faut-il toujours démontrer qu'une suite est croissante et majorée pour utiliser la convergence monotone ?

Oui, les deux propriétés sont nécessaires, et chacune doit être justifiée. Le plus souvent on les démontre ensemble par récurrence dans une même propriété, comme « $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq M$ ». Seule la combinaison permet de conclure à la convergence. Rappelle-toi aussi que la réciproque partielle existe : une suite convergente est bornée ¹, mais pas forcément monotone.

Que faire si le sujet demande la limite et que j'ai prouvé la convergence ?

Tu écris que la limite $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ quand $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, tu résous l'équation, puis tu gardes la solution compatible avec les bornes que tu as établies (par exemple $\ell \geq 0$ ou $\ell \leq M$ ). S'il reste deux solutions possibles, c'est que les bornes sont insuffisantes : reprends-les.

Ces théorèmes tombent-ils au bac ?

Ils sont au programme de spécialité mathématiques de Terminale et servent régulièrement dans les exercices sur les suites : étude d'une suite récurrente, limite d'une suite avec un terme oscillant, justification de la convergence avant un algorithme de seuil. Les démonstrations de ces théorèmes (comparaison, gendarmes, croissante non majorée) font partie de ce que tu dois savoir refaire.

Sources

Mathématiques 1 : Limites de suites et théorèmes fondamentaux, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Comparaison série-intégrale, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi comparer des suites ?

Rappels : limites, suites bornées, suites monotones

Le théorème de comparaison (limites infinies)

Le théorème des gendarmes (limites finies)

Le théorème de convergence monotone

Méthode : suite définie par récurrence

Choisir le bon théorème et éviter les pièges

Exercices corrigés

Exercice 1 Une suite qui tend vers l'infini malgré un cosinus

Exercice 2 Encadrer pour trouver une limite

Exercice 3 Une suite récurrente qui converge

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