Comparaison et convergence monotone : exercices de Terminale

Pour tout entier $n$, $-1\le(-1)^n\le 1$.

On divise par $n>0$ : $-\dfrac1n\le\dfrac{(-1)^n}{n}\le\dfrac1n$.

On ajoute $3$ : $3-\dfrac1n\le u_n\le 3+\dfrac1n$.

Les suites $\left(3-\dfrac1n\right)$ et $\left(3+\dfrac1n\right)$ ont toutes deux pour limite $3$.

Le théorème des gendarmes donne $\lim u_n = 3$.

Pour tout réel $x$, $\cos(x)\ge -1$, donc $2\cos(n)\ge -2$.

On ajoute $n$ : $u_n\ge n-2$.

Or $\lim (n-2)=+\infty$.

Par comparaison, une suite minorée par une suite qui tend vers $+\infty$ tend elle aussi vers $+\infty$ : $\lim u_n=+\infty$.

$\lim \dfrac1n=0$, donc $\lim u_n=4$. De même $\left(\dfrac12\right)^n\to0$ car $0<\dfrac12<1$, donc $\lim v_n=-1$.

Les deux suites convergent, donc leur somme converge ¹.

La limite de la somme est la somme des limites : $4+(-1)=3$.

Une suite convergente est bornée ¹, donc $(u_n)$ est bornée.

On peut aussi le voir directement : pour $n\ge 1$, $0<\dfrac1n\le 1$, donc $4<u_n\le5$ et on peut prendre $M=5$.

Pour tout réel $x$, $-1\le\sin(x)\le1$, donc $2n-1\le 2n+\sin(n)\le 2n+1$.

Comme $n+1>0$, on divise sans changer le sens : $\dfrac{2n-1}{n+1}\le u_n\le\dfrac{2n+1}{n+1}$.

Pour $n\ge1$, on factorise par $n$ : $\dfrac{2n+1}{n+1}=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac1n}\to 2$.

De même $\dfrac{2n-1}{n+1}=\dfrac{2-\frac1n}{1+\frac1n}\to2$.

Les deux suites qui encadrent $u_n$ ont la même limite $2$, donc $\lim u_n=2$ d'après le théorème des gendarmes.

Initialisation : $u_0=0$ vérifie $0\le u_0\le2$.

Hérédité : si $0\le u_n\le2$, alors $2\le 2+u_n\le4$, donc $\sqrt2\le u_{n+1}\le 2$, ce qui donne bien $0\le u_{n+1}\le2$.

Conclusion : pour tout $n$, $0\le u_n\le2$.

Pour la croissance : $u_{n+1}^2-u_n^2=2+u_n-u_n^2=(2-u_n)(1+u_n)$, produit de deux facteurs positifs. Donc $u_{n+1}^2\ge u_n^2$, et comme les termes sont positifs, $u_{n+1}\ge u_n$.

La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$ avec $0\le\ell\le2$.

On passe à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ : $\ell=\sqrt{2+\ell}$, donc $\ell^2=\ell+2$, soit $\ell^2-\ell-2=0$.

Les solutions sont $2$ et $-1$. Comme $\ell\ge0$, on garde $\ell=2$.

$u_1=\dfrac12\times1+3=3{,}5$.

Initialisation : $u_0=1\le 6$.

Hérédité : si $u_n\le6$, alors $\dfrac12u_n\le3$, donc $u_{n+1}\le 6$.

On calcule $u_{n+1}-u_n=3-\dfrac12u_n=\dfrac12(6-u_n)$. Comme $u_n\le6$, cette différence est positive : la suite est croissante.

Croissante et majorée par $6$, la suite converge vers un réel $\ell$.

En passant à la limite : $\ell=\dfrac12\ell+3$, donc $\dfrac12\ell=3$, soit $\ell=6$.

$S_4=1+0{,}25+0{,}1111\ldots+0{,}0625\approx1{,}4236$.

Croissance : $S_{n+1}-S_n=\dfrac1{(n+1)^2}>0$.

Pour $k\ge2$ : $\dfrac1{k-1}-\dfrac1k=\dfrac{1}{k(k-1)}$, et comme $k(k-1)\le k^2$, on a $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k(k-1)}$.

On additionne de $k=2$ à $k=n$ : $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\dfrac1{k^2}\le\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\dots+\left(\dfrac1{n-1}-\dfrac1n\right)=1-\dfrac1n$.

Donc $S_n\le 1+1-\dfrac1n<2$ pour tout $n$.

La suite $(S_n)$ est croissante et majorée par $2$ : elle converge.

$u_1=1+1=2$, $u_2=2+\dfrac12=2{,}5$, $u_3=2{,}5+\dfrac1{2{,}5}=2{,}5+0{,}4=2{,}9$.

Positivité : $u_0=1>0$, et si $u_n>0$ alors $u_n+\dfrac1{u_n}>0$.

Croissance : $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{u_n}>0$.

Supposons que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Comme les termes sont $\ge1$, on a $\ell\ge1$, donc $\ell\neq0$.

En passant à la limite dans la relation : $\ell=\ell+\dfrac1\ell$, donc $\dfrac1\ell=0$, ce qui est impossible.

La suite ne converge donc pas. Si elle était majorée, elle serait croissante et majorée, donc convergente d'après le théorème de convergence monotone : c'est impossible. Elle n'est donc pas majorée et, comme elle est croissante, elle tend vers $+\infty$.