Théorèmes de comparaison et convergence monotone : quiz

Quiz

20 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

1. Une suite $(u_n)$ est convergente. Que peut-on affirmer à coup sûr ?

   Elle est bornéeElle est croissanteElle est décroissanteElle est constante à partir d'un certain rang
   Valider

2. Toute suite bornée est convergente.

   VraiFaux
   Valider

3. Soit $u_n=n^2$. Que peut-on conclure sans calcul de limite ?

   Elle ne converge pas, car elle n'est pas bornéeElle converge, car elle est croissanteElle converge vers $0$On ne peut rien dire
   Valider

4. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites convergentes, alors $(u_n+v_n)$ est convergente.

   VraiFaux
   Valider

5. On pose $u_n=1+\frac1n$ et $v_n=2-\frac1n$ pour $n\ge1$. Quelle est la valeur constante de $u_n+v_n$ ?

   Ta réponse
   Valider

6. Soit $u_n=2+\frac1n$ pour $n\ge1$. Quel est son sens de variation ?

   DécroissanteCroissanteConstanteNi croissante ni décroissante
   Valider

7. Soit $u_n=3n-5$. Que vaut $u_{n+1}-u_n$ ?

   Ta réponse
   Valider

8. Soit $u_n=n^2-6n$. À partir de quel rang minimal $n_0$ la suite est-elle croissante (c'est-à-dire $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n\ge n_0$) ?

   Ta réponse
   Valider

9. Parmi ces suites, lesquelles sont bornées ?

   Plusieurs réponses possibles.

   $u_n=(-1)^n$$u_n=n$$u_n=\frac1{n+1}$$u_n=2^n$
   Valider

10. Soit $u_n=2+\frac1n$ pour $n\ge1$. Parmi ces nombres, lequel est un minorant de la suite ?

    $2$$3$$2{,}5$$4$
    Valider

11. On définit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1$. On veut montrer par récurrence que $u_n\le2$. Quelle est l'étape d'hérédité correcte ?

    Si $u_n\le2$ alors $\frac{u_n}2\le1$ donc $u_{n+1}\le2$Si $u_n\le2$ alors $u_{n+1}=u_n$Si $u_{n+1}\le2$ alors $u_n\le2$On calcule seulement $u_0\le2$
    Valider

12. Avec $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1$, calcule $u_2$.

    Ta réponse
    Valider

13. Une suite croissante est toujours convergente.

    VraiFaux
    Valider

14. Soit $u_n=2+\frac1n$ pour $n\ge1$. Un élève dit : « elle est décroissante et minorée par $0$, donc sa limite est $0$ ». Que réponds-tu ?

    C'est faux : tous les termes sont supérieurs à $2$, la limite ne peut pas être $0$C'est vrai : le minorant est la limiteC'est faux car la suite est croissanteC'est vrai car $\frac1n$ tend vers $0$
    Valider

15. Soit $u_n=n+(-1)^n$ pour $n\ge0$. Quelle conclusion est correcte ?

    Elle tend vers $+\infty$, car $u_n\ge n-1$ et $n-1$ tend vers $+\infty$Elle n'a pas de limite, car $(-1)^n$ n'en a pasElle converge, car $(-1)^n$ est bornéeOn ne peut rien conclure, car elle n'est pas monotone
    Valider

16. Soit $u_n=-2n+(-1)^n$ pour $n\ge0$. Quelle conclusion est correcte ?

    Elle tend vers $-\infty$, car $u_n\le-2n+1$ et $-2n+1$ tend vers $-\infty$Elle tend vers $+\infty$, car $(-1)^n$ alterneElle n'a pas de limite, car le signe de $(-1)^n$ changeElle converge vers $-1$
    Valider

17. Pour $n\ge1$, on pose $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$. Quel raisonnement permet de conclure correctement ?

    $-\frac1n\le u_n\le\frac1n$ et les deux bornes tendent vers $0$, donc $u_n$ tend vers $0$ (théorème des gendarmes)$(-1)^n$ n'a pas de limite, donc $u_n$ n'en a pas non plus$u_n$ est bornée, donc elle converge vers $0$$\frac1n$ tend vers $0$, donc $u_n$ est croissante
    Valider

18. On reprend $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1$. Quelle démonstration établit correctement que la suite converge ?

    On montre par récurrence que $u_n\le2$, d'où $u_{n+1}-u_n=1-\frac{u_n}{2}\ge0$ : la suite est croissante et majorée, donc elle convergeOn calcule $u_1>u_0$, donc la suite est croissante, donc elle convergeLa suite est majorée par $2$, donc elle converge vers $2$La suite est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge
    Valider

19. La suite $u_0=0$, $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1$ converge vers un réel $\ell$. Quelle est la valeur de $\ell$ ?

    Ta réponse
    Valider

20. Une suite croissante et majorée par $2$ converge nécessairement vers $2$.

    VraiFaux
    Valider