Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac
Comparaison et convergence monotone : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une suite convergente est bornée ; la réciproque est fausse, comme le montre 1.
- Pour une limite infinie, on minore (ou majore) par une suite dont on connaît la limite : c'est le théorème de comparaison.
- Pour une limite finie, on encadre : c'est le théorème des gendarmes.
- Une suite croissante et majorée converge ; décroissante et minorée, elle converge aussi. La limite n'est pas forcément le majorant.
- Sur une suite récurrente, on prouve la monotonie et le majorant par récurrence, puis on résout l'équation de la limite.
Comparer pour trouver une limite
Quand une suite est trop compliquée pour calculer directement sa limite, on la compare à une suite plus simple. Ces outils servent à trouver une limite ; le théorème de convergence monotone, lui, sert à prouver qu'une limite existe.
Démonstration · Pourquoi la comparaison marche
Fixons un réel . Comme , il existe un rang à partir duquel . Pour (et au-delà du rang de la comparaison), . Donc finit par dépasser n'importe quel réel : c'est la définition de .
Convergence monotone
Le lien avec le cours sur les limites : une suite convergente est toujours bornée 1. Le théorème monotone donne une réciproque, mais seulement si on ajoute la monotonie. Sans elle, la réciproque est fausse : est bornée et ne converge pas.
Méthode sur une suite récurrente
À retenir pour le bac
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Comme et que est plus grande, par comparaison. La réponse « on ne peut rien dire » vient de l'idée qu'il faut un encadrement ; or pour une limite infinie, un seul côté suffit. La croissance ne se déduit pas d'une minoration.
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Faux. Une suite convergente est bornée 1, mais la réciproque est fausse : est bornée par et n'a pas de limite. La monotonie manque.
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Croissante et majorée implique convergente, avec une limite au plus égale à . Dire qu'elle converge vers est l'erreur tentante : est majorée par et converge vers .
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La suite converge vers avec , donc . Ici le majorant est atteint comme limite, mais seule l'équation le prouve.
Les questions qu'on se pose
Comment choisir entre gendarmes et comparaison ?
Si la limite visée est infinie, une inégalité d'un seul côté suffit : c'est la comparaison. Si elle est finie, il faut encadrer la suite par deux suites de même limite : ce sont les gendarmes.
Pourquoi ne peut-on pas simplement écrire $\ell = f(\ell)$ ?
Parce que cette équation n'a de sens que si la suite converge. Il faut donc d'abord démontrer la convergence (monotone et bornée), puis passer à la limite. Ensuite, si l'équation a plusieurs solutions, on garde celle qui respecte les bornes de la suite.
Le théorème de convergence monotone donne-t-il la valeur de la limite ?
Non, il garantit seulement qu'elle existe et qu'elle respecte la borne. Pour la valeur, on résout l'équation de point fixe ou on utilise un encadrement.
Sources
- Mathématiques 1 : Limites de suites et théorèmes fondamentaux, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
- Comparaison série-intégrale, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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