Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fraction est le quotient de deux entiers : un numérateur et un dénominateur 1.
Une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée : numérateur et dénominateur sont premiers entre eux, leur PGCD vaut 1 4.
Pour simplifier, on divise le haut et le bas par un même entier ; avec le PGCD, on y arrive en une seule étape.
Chaque fraction a une unique forme irréductible 4, ce qui permet de comparer deux fractions sans erreur.
Au programme de 3e, il faut savoir rendre une fraction irréductible 2 ; on ne « barre » jamais des chiffres au hasard.
Pourquoi parler de fraction irréductible ?
Tu connais déjà les fractions depuis l'école primaire. En 3e, on va plus loin : on veut écrire une fraction de la façon la plus simple possible. Pourquoi ? Parce qu'une même quantité peut s'écrire de plusieurs manières, et qu'un résultat de calcul se donne, au brevet, sous sa forme la plus simple.
Prends un exemple de la vie courante. Si tu manges 6 parts d'une pizza coupée en 8, tu as mangé 86 de la pizza. Mais tu aurais pu la couper en 4 grandes parts et en manger 3 : tu aurais mangé 43. C'est la même quantité, écrite avec des nombres plus petits. La fraction 43 est celle qu'on ne peut plus réduire : c'est la fraction irréductible.
Le programme de 3e demande explicitement de savoir simplifier une fraction pour la rendre irréductible 2. Ce cours te donne les définitions, une méthode sûre, les pièges à éviter et des exercices pour t'entraîner. Tu auras besoin de trois notions vues avant : les diviseurs et les multiples, les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers.
Rappel : qu'est-ce qu'une fraction ?
Dans 53, le numérateur est 3 et le dénominateur est 5. Quand tu écris « les 53 de 120 », la fraction agit comme un opérateur : tu divises 120 par 5, puis tu multiplies par 3, ce qui donne 72.
Le programme définit aussi le nombre rationnel : c'est un nombre que l'on obtient en divisant un entier par un autre, quelle que soit la façon dont on l'écrit 1. Cette précision est utile : le nombre rationnel est la valeur, et il existe plusieurs écritures fractionnaires de cette même valeur. Par exemple, 53, 106 et 2012 sont trois écritures du même nombre.
Fractions égales et simplification
Définition de la fraction irréductible
Une seule forme irréductible pour chaque fraction
Cette propriété est précieuse. Quelle que soit la façon dont tu simplifies, par petits pas ou d'un seul coup, tu arrives toujours à la même fraction finale, si tu vas jusqu'au bout. Deux camarades peuvent donc faire des étapes différentes et trouver la même réponse.
Elle sert aussi à comparer : pour savoir si deux fractions représentent le même nombre, tu peux les rendre toutes les deux irréductibles et regarder si tu obtiens la même écriture. Reprenons 2418 et 4030. La première se simplifie par 6 en 43. La seconde se simplifie par 10 en 43. Les deux fractions sont égales.
Rendre une fraction irréductible : deux méthodes
Trouver le PGCDDécompose les deux nombres en facteurs premiers.
Diviser haut et basDivise numérateur et dénominateur par le PGCD.
VérifierLes deux nombres obtenus n'ont que 1 en commun.
ConclureÉcris la fraction irréductible, avec son signe.
Rendre une fraction irréductible · Méthode de simplification complète
Utiliser le PGCD
Cette méthode est la plus rapide quand les nombres sont grands. Elle sert aussi dans les problèmes de divisibilité du programme, comme les engrenages ou les événements qui se répètent à intervalles réguliers 2.
Les pièges de la simplification
Exercices corrigés
Exercice 1 Rendre irréductible avec le PGCD
★☆☆Environ 8 min
Rends irréductible la fraction 252180 en calculant d'abord le PGCD de 180 et de 252.
Indice 1
Décompose 180 et 252 en facteurs premiers.
Indice 2
Le PGCD est le produit des facteurs communs, pris avec le plus petit exposant.
Voir la correction pas à pas
On décompose : 180=22×32×5 et 252=22×32×7.
Les facteurs communs sont 22 et 32 ; le PGCD vaut 4×9=36.
On divise le numérateur : 180:36=5.
On divise le dénominateur : 252:36=7.
Donc 252180=75 ; 5 et 7 sont premiers entre eux, la fraction est irréductible.
Le PGCD vaut 36 et 252180=75.
Exercice 2 Deux engrenages
★★☆Environ 10 min
Une roue de 36 dents engrène avec une roue de 60 dents. On part d'une position où deux dents repérées sont face à face. Combien de tours la plus petite roue doit-elle faire pour que les deux repères se retrouvent face à face pour la première fois ?
Indice 1
Écris le rapport 6036 et rends-le irréductible.
Indice 2
Le dénominateur de la fraction irréductible donne le nombre de tours de la roue de 36 dents.
Voir la correction pas à pas
Le rapport des nombres de dents est 6036.
Le PGCD de 36 et 60 est 12 : 36=22×32 et 60=22×3×5, donc 22×3=12.
On simplifie : 6036=53.
Pendant que la grande roue fait 3 tours, la petite en fait 5 : on vérifie que 3×60=180=5×36.
Les repères se retrouvent donc face à face après 5 tours de la petite roue.
La petite roue fait 5 tours, pendant lesquels la grande en fait 3.
Exercice 3 Combien de fractions irréductibles ?
★★★Environ 12 min
On considère les fractions 30n où n est un entier compris entre 1 et 30. Combien de ces fractions sont irréductibles ?
Indice 1
Décompose 30 en facteurs premiers.
Indice 2
La fraction est irréductible si n n'est divisible par aucun facteur premier de 30.
Voir la correction pas à pas
On a 30=2×3×5.
30n est irréductible lorsque n et 30 n'ont pas de diviseur commun autre que 1, donc lorsque n n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
On écarte les nombres pairs : il reste 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29.
On écarte les multiples de 3 : 3, 9, 15, 21, 27. Il reste 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29.
On écarte les multiples de 5 : 5, 25. Il reste 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
On compte : il y a 8 valeurs de n.
Il y a 8 fractions irréductibles : celles pour lesquelles n vaut 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ou 29.
Quiz
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3625 est irréductible : 25 et 36 n'ont que 1 comme diviseur commun. Les trois autres se simplifient : 2114 par 7, 2715 par 3 et 3018 par 6. Le piège est de croire qu'il faut des nombres premiers : 25 et 36 ne le sont pas, ce qui ne les empêche pas d'être premiers entre eux.
C'est faux. Il faut seulement que le numérateur et le dénominateur soient premiers entre eux, c'est-à-dire de PGCD 1 4. Par exemple, 98 est irréductible alors que ni 8 ni 9 ne sont premiers.
90=2×32×5 et 144=24×32. Les facteurs communs sont 2 et 32, donc le PGCD vaut 2×9=18. Retenir 6 serait s'arrêter trop tôt : 90 et 144 sont encore divisibles par 3 après la division par 6.
Le PGCD de 48 et 180 est 12 ; 48:12=4 et 180:12=15, donc 154. Les autres réponses sont des simplifications incomplètes : 9024 se simplifie encore par 6, 4512 par 3 et 308 par 2.
On a 2012=20:412:4=534. Comme 12 et 20 sont divisibles par 4, la fraction n'est pas irréductible et leur PGCD est 4, pas 1. Les affirmations 2 et 4 sont donc fausses.
C'est vrai : 2×15=30 et 3×10=30, les produits en croix sont égaux 4. On peut aussi simplifier 1510 par 5 pour obtenir 32.
Le PGCD de 210 et 330 est 30 : 210=2×3×5×7 et 330=2×3×5×11. On obtient 117, donc le dénominateur est 11. Un dénominateur de 33 ou de 55 viendrait d'une simplification inachevée.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une fraction est irréductible ?
Cherche si le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun autre que 1. Teste 2, 3, 5, puis les autres nombres premiers jusqu'à ce que tu aies épuisé les diviseurs possibles, ou calcule leur PGCD. Si le PGCD vaut 1, la fraction est irréductible 4.
Faut-il toujours donner le résultat sous forme irréductible ?
Si l'énoncé le demande, oui, et c'est un attendu du programme de 3e 2. Même quand ce n'est pas précisé, c'est une bonne habitude : le résultat est plus lisible et la correction l'attend généralement.
À quoi sert la forme irréductible ?
Elle donne une écriture unique pour chaque nombre rationnel 4. Pour savoir si deux fractions sont égales, tu peux les rendre toutes deux irréductibles et comparer. Elle sert aussi dans les problèmes de divisibilité, comme les engrenages 2.
Peut-on simplifier en plusieurs étapes, ou faut-il tout faire d'un coup ?
Les deux sont corrects. Comme chaque fraction a une seule forme irréductible 4, tu obtiens le même résultat à condition d'aller jusqu'au bout. Les divisions successives sont plus faciles à vérifier ; le PGCD est plus rapide pour de grands nombres.
Pourquoi ne peut-on pas barrer des chiffres identiques ?
Parce qu'un chiffre n'est pas un facteur du nombre entier. Dans 6226, barrer le 2 n'a aucun sens mathématique. Certaines fractions donnent un bon résultat par hasard avec cette fausse méthode, ce qu'étudient des ressources de l'académie de Lyon 3, mais il ne faut jamais t'y fier.