Fractions irréductibles : exercices corrigés de 3e

Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18 ; ceux de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6 : le plus grand est 6, donc PGCD(18 ; 24) = 6.

On divise en haut et en bas par 6 : $\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}$.

Contrôle : 3 et 4 n'ont que 1 comme diviseur commun, la fraction $\frac{3}{4}$ est irréductible.⁴

On décompose : $35 = 5 \times 7$ et $48 = 2^4 \times 3$.

Les facteurs premiers de 35 sont 5 et 7, ceux de 48 sont 2 et 3 : aucun n'est commun.

Le PGCD vaut donc 1.

Les deux nombres sont premiers entre eux, donc la fraction $\frac{35}{48}$ est déjà irréductible.⁴

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.

Facteurs communs au plus petit exposant : $2^1$, $3^1$ et $7^1$.

PGCD(84 ; 126) $= 2 \times 3 \times 7 = 42$.

On divise en haut et en bas par 42 : $\frac{84:42}{126:42}=\frac{2}{3}$.

Contrôle : 2 et 3 sont premiers entre eux, la fraction est irréductible.⁴

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$.

On écrit $\frac{180}{252}=\frac{2^2 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3^2 \times 7}$.

On divise le haut et le bas par $2^2 \times 3^2 = 36$, qui est leur facteur commun : il reste $\frac{5}{7}$.

5 et 7 sont premiers : ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1, donc $\frac{5}{7}$ est irréductible.⁴

$12 = 2^2 \times 3$ : les seuls facteurs premiers à éviter sont 2 et 3.

Si $a$ est pair ou multiple de 3, le PGCD de $a$ et 12 dépasse 1 et la fraction se simplifie.

On élimine donc 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 et 12.

Restent 1, 5, 7 et 11, dont le PGCD avec 12 vaut 1 : les fractions $\frac{1}{12}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{7}{12}$ et $\frac{11}{12}$ sont irréductibles.⁴

Il y a donc 4 fractions irréductibles.

Produits en croix : $14 \times 33 = 462$ et $21 \times 22 = 462$.

Les deux produits sont égaux, donc les fractions sont égales.⁴

Seconde méthode : PGCD(14 ; 21) = 7, d'où $\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$.

PGCD(22 ; 33) = 11, d'où $\frac{22}{33}=\frac{2}{3}$.

Les deux fractions ont la même forme irréductible : elles sont égales.

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.

Facteurs communs au plus petit exposant : $2^2 \times 3 = 12$, donc PGCD(84 ; 120) = 12.

$\frac{84}{120}=\frac{84:12}{120:12}=\frac{7}{10}$.

7 et 10 sont premiers entre eux : la fraction est irréductible.⁴

La roue de 84 dents a donc 7 dents pour 10 dents de l'autre roue, dans le rapport le plus simple.

$1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$.

$1980 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 11$.

Facteurs communs : $2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$, donc PGCD = 180.

$\frac{1260}{1980}=\frac{1260:180}{1980:180}=\frac{7}{11}$.

7 et 11 sont deux nombres premiers distincts : la fraction $\frac{7}{11}$ est irréductible.⁴

Pour la base 2 : $\frac{2^5}{2^3}=2^2$, qui reste au numérateur.

Pour la base 3 : $\frac{3^2}{3^4}=\frac{1}{3^2}$, donc $3^2$ passe au dénominateur.

Le facteur 5 reste en haut, le facteur 7 reste en bas.

La fraction devient $\dfrac{2^2 \times 5}{3^2 \times 7}=\dfrac{20}{63}$.

Le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur premier commun (2 et 5 d'un côté, 3 et 7 de l'autre) : la fraction est irréductible.⁴

Somme : $20 + 63 = 83$.