Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Trois égalités à connaître par cœur : (a+b)2=a2+2ab+b2, (a−b)2=a2−2ab+b2 et (a+b)(a−b)=a2−b2.
Elles servent à développer vite, à factoriser et à faire du calcul mental, par exemple 512=(50+1)2.
Pour les utiliser, repère d'abord ce que valent a et b dans l'expression, même si a ou b est un produit comme 3x.
Piège classique : (a+b)2 n'est pas a2+b2, il manque le double produit 2ab.
Pour factoriser a2−b2, tu obtiens (a+b)(a−b) ; pour a2±2ab+b2, tu obtiens un carré.
Pourquoi des identités remarquables ?
En calcul littéral, tu sais déjà développer (transformer un produit en somme) et factoriser (transformer une somme en produit). Les identités remarquables sont des raccourcis pour certains cas qui reviennent tout le temps. Au lieu de refaire la même distributivité à chaque fois, tu reconnais une forme et tu appliques une formule.
On appelle identités remarquables certaines égalités qui restent vraies quelles que soient les valeurs des nombres ou des variables mises à la place des lettres. Elles servent à accélérer des calculs, à simplifier des écritures, à développer et à factoriser des expressions 4.
Dans ce cours, tu vas :
découvrir les trois égalités et comprendre d'où elles viennent ;
les démontrer, pour ne jamais avoir à te demander si tu les as bien retenues ;
les utiliser dans les deux sens, pour développer et pour factoriser ;
les employer pour calculer de tête ;
éviter les erreurs les plus fréquentes.
Tu as besoin de bien maîtriser la distributivité simple, c'est-à-dire k(a+b)=ka+kb, et la double distributivité, que tu as vues dans le chapitre « Développer et factoriser ».
Un peu d'histoire : ces égalités ont d'abord été démontrées par des raisonnements géométriques, puis généralisées par le calcul algébrique. On en trouve une trace très ancienne dans les Éléments d'Euclide, au Livre II, propositions 4 et 7 4. On pense aussi que les Babyloniens les connaissaient déjà 4. Tu verras plus loin une preuve géométrique qui s'en inspire.
Les trois identités à connaître
Les trois identités remarquables
Nom
Forme factorisée
Forme développée
Carré d'une somme
(a + b)²
a² + 2ab + b²
Carré d'une différence
(a − b)²
a² − 2ab + b²
Produit somme par différence
(a + b)(a − b)
a² − b²
Les trois identités remarquables · Lire de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
Observe la structure du développement des deux premières :
le premier terme est le carré du premier nombre : a2 ;
le dernier terme est le carré du second nombre : b2 ;
au milieu, le double produit2ab, précédé de + pour une somme et de − pour une différence.
Pour la troisième, il n'y a pas de terme du milieu : les deux produits croisés se compensent, et il reste seulement a2−b2.
Démontrer les identités
Une identité n'est pas un mystère à apprendre sans comprendre : elle se démontre en développant. Si tu oublies une formule le jour d'un contrôle, tu peux la retrouver en moins d'une minute.
Démonstration · Preuve par le calcul
Carré d'une somme. On écrit le carré comme un produit, puis on utilise la double distributivité :
Démonstration · Preuve géométrique du carré d'une somme
Considère un grand carré de côté a+b. Son aire est (a+b)2. On le découpe en quatre morceaux :
un carré de côté a, d'aire a2 ;
un carré de côté b, d'aire b2 ;
deux rectangles de côtés a et b, chacun d'aire ab.
L'aire totale est la somme des aires des morceaux : a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2. On retrouve la première identité. Ce type de raisonnement par les aires est celui qui, à l'origine, a permis de démontrer ces égalités 4.
Développer avec une identité
Factoriser avec une identité
Factoriser, c'est lire l'identité de droite à gauche. Ces égalités servent donc aussi à transformer une somme en produit 4. C'est utile pour simplifier une expression ou, plus tard, pour résoudre des équations.
ObserverCompte les termes et repère les carrés.
ChoisirDeux carrés avec un moins, ou trois termes ?
Identifier a et bÉcris a = … et b = … par écrit.
VérifierDéveloppe ou teste avec un petit nombre.
Factoriser avec une identité · Méthode pour factoriser une expression.
Calculer de tête avec les identités
Les identités remarquables permettent de calculer rapidement certains nombres sans calculatrice. Il suffit de décomposer un nombre en une somme ou une différence « simple ».
Choisir la bonne identité, éviter les pièges
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer un carré de tête
★☆☆Environ 5 min
Sans calculatrice, calcule 512 en utilisant une identité remarquable.
Indice 1
Décompose 51 comme une somme avec un nombre rond.
Indice 2
Utilise (a+b)2=a2+2ab+b2 avec a=50 et b=1.
Voir la correction pas à pas
On écrit 51=50+1, pour avoir un nombre rond et un petit nombre.
On applique l'identité du carré d'une somme : 512=(50+1)2=502+2×50×1+12.
On calcule chaque terme : 502=2500, 2×50×1=100, 12=1.
On additionne : 2500+100+1=2601.
On obtient 512=2601. Cette méthode marche pour tout nombre proche d'une dizaine ou d'une centaine.
Exercice 2 Un produit de nombres symétriques
★☆☆Environ 5 min
Calcule 99×101 sans calculatrice, en reconnaissant une identité remarquable.
Indice 1
Écris 99 et 101 à partir de 100.
Indice 2
Pense à (a−b)(a+b)=a2−b2.
Voir la correction pas à pas
On écrit 99=100−1 et 101=100+1.
Le produit devient (100−1)(100+1), de la forme (a−b)(a+b) avec a=100 et b=1.
On applique l'identité : 1002−12=10000−1.
On calcule : 9999.
Donc 99×101=9999. Un produit de deux nombres placés symétriquement autour d'un nombre rond est une différence de deux carrés.
Exercice 3 Développer et réduire
★★☆Environ 10 min
Développe et réduis l'expression F=(3x−2)2−(x+1)(x−1).
Indice 1
Développe chaque partie séparément, puis soustrais.
Indice 2
Dans (3x−2)2, on a a=3x et b=2.
Indice 3
La soustraction s'applique à toute la deuxième parenthèse développée.
Voir la correction pas à pas
Premier terme : (3x−2)2=(3x)2−2×3x×2+22=9x2−12x+4.
Deuxième terme : (x+1)(x−1)=x2−1.
On soustrait en mettant des parenthèses : F=9x2−12x+4−(x2−1).
On change les signes : F=9x2−12x+4−x2+1.
On réduit : F=8x2−12x+5.
On trouve F=8x2−12x+5. Remarque comment le signe moins devant la parenthèse change à la fois x2 et −1.
Pour un trinôme, vérifie que le terme du milieu est le double produit.
Voir la correction pas à pas
Pour G : 49x2=(7x)2 et 36=62, avec un signe moins entre les deux. Donc G=(7x+6)(7x−6).
Pour H : x2 et 49=72 sont des carrés, et 2×x×7=14x. Le signe du milieu est +, donc H=(x+7)2.
Pour K : 9x2=(3x)2 et 25=52, et 2×3x×5=30x. Le signe du milieu est −, donc K=(3x−5)2.
On vérifie par un test, par exemple x=1 pour K : 9−30+25=4 et (3−5)2=4.
Les résultats sont G=(7x+6)(7x−6), H=(x+7)2 et K=(3x−5)2.
Exercice 5 Une différence qui se simplifie
★★★Environ 10 min
On pose L=(x+3)2−(x−3)2. Montre que L=12x, puis calcule la valeur de L pour x=5.
Indice 1
Développe les deux carrés puis soustrais, en faisant attention aux signes.
Indice 2
Tu peux aussi factoriser une différence de deux carrés avec a=x+3 et b=x−3.
Voir la correction pas à pas
On développe : (x+3)2=x2+6x+9 et (x−3)2=x2−6x+9.
On soustrait : L=x2+6x+9−(x2−6x+9)=x2+6x+9−x2+6x−9.
On réduit : L=12x.
Pour x=5 : L=12×5=60. Vérification directe : 82−22=64−4=60.
On a bien L=12x et, pour x=5, L=60. Les termes x2 et 9 s'éliminent : il ne reste que les doubles produits.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On applique (a+b)2=a2+2ab+b2 avec a=x et b=4 : x2+8x+16. La réponse x2+16 oublie le double produit 8x, erreur la plus fréquente ; x2+4x+16 oublie le facteur 2 ; x2+8x+8 double b au lieu de le mettre au carré.
C'est un produit d'une somme par une différence : (a−b)(a+b)=a2−b2, soit x2−25. La réponse x2−10x+25 correspond à (x−5)2, ce n'est pas la même expression. Les termes en x s'annulent, donc x2+25 est faux aussi, et 52=25, pas 10.
Faux. On a (a−b)2=a2−2ab+b2. Avec a=5 et b=2 : (5−2)2=9, alors que 52−22=21. L'égalité a2−b2 est celle de (a+b)(a−b), pas celle du carré d'une différence.
(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404. L'erreur tentante est de calculer 10000+4=10004 en oubliant le double produit 400.
On a 9x2=(3x)2 et 16=42 : c'est une différence de deux carrés, qui se factorise en (3x+4)(3x−4). (3x−4)2 ferait apparaître un terme en x lors du développement. (9x+16)(9x−16) oublie de prendre la racine des coefficients.
(x−3)2 et (x−3)(x−3) sont la même expression et donnent x2−6x+9. (x+3)2 donne x2+6x+9 : le signe du milieu est faux. (x−9)(x+1)=x2−8x−9 n'a aucun rapport.
x2 et 25=52 sont des carrés et 2×x×5=10x est le terme du milieu : (x+5)2. (x+25)2 et (x+10)2 mettent le mauvais nombre dans la parenthèse. (x−5)2 donnerait −10x.
Les questions qu'on se pose
Comment retenir les trois identités remarquables ?
Retiens la première, (a+b)2=a2+2ab+b2, et sa structure : carré du premier, double produit, carré du second. La deuxième s'en déduit en remplaçant b par −b4. La troisième se retrouve en développant (a+b)(a−b) : les deux termes croisés s'annulent. Si tu doutes, refais le développement ou teste avec de petits nombres.
À quoi servent les identités remarquables ?
Elles servent à développer et à factoriser plus vite, à simplifier des écritures et à faire du calcul mental 4. Elles servent aussi dans les chapitres qui suivent : résoudre des équations produit nul ou des équations de la forme x2=a demande souvent de factoriser.
Comment savoir quelle identité utiliser ?
Regarde la forme de l'expression. Un carré d'une parenthèse avec un plus : première identité. Un carré avec un moins : deuxième. Deux parenthèses identiques sauf le signe du milieu : troisième. Pour factoriser, cherche deux carrés séparés par un moins (troisième), ou deux carrés et un terme du milieu égal au double produit (première ou deuxième).
Que faire quand $a$ ou $b$ contient un coefficient ou une puissance ?
Écris d'abord ce que valent a et b par écrit, par exemple a=3x et b=2, puis remplace dans la formule en gardant les parenthèses : (3x+2)2=(3x)2+2×3x×2+22. C'est le fait de mettre (3x)2 et non 3x2 qui évite l'erreur classique.
Faut-il connaître les identités par cœur pour le DNB ?
Oui, il vaut mieux les connaître, car elles reviennent dans les exercices de calcul littéral et de factorisation. Mais tu peux les retrouver en développant le produit, ce qui te sauve en cas de trou de mémoire.