Identités remarquables : quiz de 3e (calcul littéral)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Trois égalités à connaître par cœur : (a+b)2=a2+2ab+b2, (a−b)2=a2−2ab+b2 et (a+b)(a−b)=a2−b2.
Elles servent à développer vite, à factoriser, et à calculer de tête certains produits.
Piège numéro un : oublier le double produit 2ab, car (a+b)2 n'est jamais égal à a2+b2.
Pour reconnaître une identité, repère d'abord ce qui joue le rôle de a et de b.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur les identités remarquables, une notion charnière du calcul littéral en 3e et en 2de : elle demande de savoir développer, factoriser et reconnaître la forme d'une expression 3. Ces égalités servent à accélérer les calculs, à simplifier des écritures, à factoriser ou à développer des expressions 4. On les retrouve au DNB, souvent avant de résoudre une équation produit nul.
Les questions couvrent les trois formules, le développement d'expressions simples, la factorisation, le calcul mental et les erreurs classiques. Chaque explication te dit pourquoi la bonne réponse est juste et pourquoi l'erreur tentante est fausse.
Quiz
17 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La bonne formule est (a+b)2=a2+2ab+b2 : en développant (a+b)(a+b) on obtient a2+ab+ba+b2, soit un double produit 2ab. Écrire a2+b2 oublie ce terme, et le signe moins appartient à (a−b)2.
(a−b)2=a2−2ab+b2 : le double produit est négatif mais b2 reste positif, puisqu'un carré est toujours positif. a2−b2 est le résultat de (a+b)(a−b), pas du carré d'une différence.
Les produits croisés −ab et +ab s'annulent, il reste a2−b2. Une somme de deux carrés a2+b2 ne se factorise pas ainsi et n'est pas le résultat de ce produit.
Avec a=x et b=3 : x2+2×x×3+32=x2+6x+9. La réponse x2+9 oublie le double produit, et x2+6x+6 confond 32 avec 2×3.
Ici a=2x et b=5 : a2=4x2, 2ab=20x, b2=25, donc 4x2−20x+25. Piège : élever seulement x au carré (donnant 2x2) oublie que (2x)2=4x2 ; et 4x2−10x+25 oublie le facteur 2 du double produit.
C'est la forme (a+b)(a−b) avec a=x et b=7, donc x2−72=x2−49. Le résultat n'a pas de terme en x, ce qui exclut x2−14x+49. Et 72 vaut 49, pas 14.
C'est faux : l'égalité manque le terme 2ab. Exemple : (1+2)2=9 alors que 12+22=5. Elle n'est vraie que si ab=0.
x2−16=x2−42, de la forme a2−b2=(a−b)(a+b), donc (x−4)(x+4). Le carré (x−4)2 donnerait x2−8x+16, avec un terme en x qui n'existe pas ici.
On reconnaît a2+2ab+b2 avec a=x et b=5 : 2×5=10 et 52=25. Donc (x+5)2. Avec (x−5)2 le terme central serait −10x, et (x+5)(x−5) vaut x2−25.
Ici a=4 et b=x : on obtient 42−x2=16−x2. Attention à l'ordre : x2−16 est l'opposé. Dans (a+b)(a−b), c'est le carré du terme qui garde le même signe dans les deux parenthèses, ici 4, qui est positif.
(100+1)2=1002+2×100×1+12=10000+200+1=10201. Une erreur fréquente est de répondre 10001 en oubliant le double produit 200.
(50−1)(50+1)=502−12=2500−1=2499. Répondre 2500 revient à oublier de retrancher 12.
(x−3)(x+3)=x2−9 par la troisième identité, et x2−32 est la même écriture puisque 32=9. Les carrés (x−3)2 et (x+3)2 développés contiennent −6x ou +6x : ils ne sont pas égaux à x2−9.
a=3x, b=2 : a2=9x2, 2ab=2×3x×2=12x, b2=4. Le résultat est 9x2+12x+4. Calculer 2ab comme 3x×2 (soit 6x) oublie le facteur 2 ; 3x2 oublie que le coefficient est aussi élevé au carré.
C'est vrai : (b−a) est l'opposé de (a−b), et deux nombres opposés ont le même carré. Les deux développements donnent a2−2ab+b2.
9x2=(3x)2 et 25=52, donc 9x2−25=(3x)2−52=(3x−5)(3x+5). Dans (9x−5)(9x+5) on aurait 81x2−25 : il faut prendre la racine du coefficient, ici 3, pas le coefficient lui-même.
Pour x=3 : (3+4)2=49 et (3−4)2=1, donc 49−1=48. On peut aussi développer : (x2+8x+16)−(x2−8x+16)=16x, soit 48. Attention : en retirant la parenthèse précédée d'un signe moins, il faut changer le signe de chacun de ses termes.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quelle identité remarquable utiliser ?
Regarde la forme de l'expression. Un carré d'une somme ou d'une différence, comme (x+3)2 ou (x−3)2, relève des deux premières identités. Un produit de deux parenthèses qui ne diffèrent que par le signe du milieu, comme (x−3)(x+3), relève de la troisième. Pour factoriser, une différence de deux carrés x2−9 appelle la troisième ; un trinôme du type x2+6x+9 appelle la première.
À quoi servent les identités remarquables ?
Elles permettent de développer ou de factoriser plus vite qu'avec la double distributivité, et de simplifier des écritures 4. Au DNB, la factorisation sert surtout à obtenir une équation produit nul. Elles permettent aussi des calculs mentaux comme 992=(100−1)2. Plus tard, elles interviennent dans la résolution des équations du second degré 4.