Identités remarquables : exercices corrigés de 3e

Pour $A$ : $a=x$ et $b=5$. On applique $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ : $A=x^2+2\times x\times 5+5^2$.

On calcule : $A=x^2+10x+25$.

Pour $B$ : $a=x$ et $b=4$. On applique $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ : $B=x^2-2\times x\times 4+4^2$.

On calcule : $B=x^2-8x+16$.

Pour $C$ : $a=x$ et $b=6$. On applique $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ : $C=x^2-6^2$.

On calcule : $C=x^2-36$.

On écrit $31^2=(30+1)^2$.

On applique la formule avec $a=30$ et $b=1$ : $(30+1)^2=30^2+2\times 30\times 1+1^2$.

On calcule chaque terme : $900+60+1$.

On additionne : $961$.

On écrit $49\times 51=(50-1)(50+1)$.

On reconnaît $(a-b)(a+b)$ avec $a=50$ et $b=1$.

On applique $a^2-b^2$ : $50^2-1^2$.

On calcule : $2500-1=2499$.

Pour $D$ : $a=3x$ et $b=2$. On écrit $D=(3x)^2+2\times 3x\times 2+2^2$.

On calcule : $D=9x^2+12x+4$.

Pour $E$ : $a=5$ et $b=2x$. On écrit $E=5^2-2\times 5\times 2x+(2x)^2$.

On calcule : $E=25-20x+4x^2$, soit $E=4x^2-20x+25$ une fois rangé.

Pour $F$ : $a=4x$ et $b=3$. On écrit $F=(4x)^2-3^2$.

On calcule : $F=16x^2-9$.

Pour $G$ : $x^2=x^2$ et $25=5^2$. Le double produit $2\times x\times 5=10x$ est bien le terme du milieu.

On factorise : $G=(x+5)^2$.

Pour $H$ : $9x^2=(3x)^2$ et $49=7^2$, séparés par un signe moins : c'est une différence de carrés.

On factorise : $H=(3x+7)(3x-7)$.

Pour $I$ : $4x^2=(2x)^2$ et $9=3^2$. Le double produit $2\times 2x\times 3=12x$ apparaît avec un signe moins.

On factorise : $I=(2x-3)^2$.

On reconnaît $a^2-b^2$ avec $a=10{,}2$ et $b=9{,}8$.

On factorise : $10{,}2^2-9{,}8^2=(10{,}2-9{,}8)(10{,}2+9{,}8)$.

On calcule les deux facteurs : $10{,}2-9{,}8=0{,}4$ et $10{,}2+9{,}8=20$.

On multiplie : $0{,}4\times 20=8$.

L'aire de départ est $x^2$. Le nouveau côté est $x+3$, donc la nouvelle aire est $(x+3)^2$.

L'énoncé donne l'équation $(x+3)^2=x^2+33$.

On développe avec $(a+b)^2$ : $x^2+6x+9=x^2+33$.

On retire $x^2$ des deux côtés : $6x+9=33$.

On résout : $6x=24$, donc $x=4$.

On contrôle : le carré de côté 4 a pour aire 16 ; celui de côté 7 a pour aire 49 ; et $49-16=33$.

On écrit $J=(2x+1)^2-3^2$ : c'est $a^2-b^2$ avec $a=2x+1$ et $b=3$.

On factorise : $J=(2x+1+3)(2x+1-3)$.

On réduit chaque parenthèse : $J=(2x+4)(2x-2)$. En sortant les facteurs communs, $J=4(x+2)(x-1)$.

Pour développer : $J=(2x)^2+2\times 2x\times 1+1^2-9=4x^2+4x+1-9$.

On réduit : $J=4x^2+4x-8$.

Pour $x=3$, forme factorisée : $(2\times 3+4)(2\times 3-2)=10\times 4=40$.

Pour $x=3$, forme développée : $4\times 9+12-8=36+12-8=40$.