Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La racine carrée d'un nombre positif x, notée x, est le seul nombre positif dont le carré vaut x : (x)2=x et x2=x si x≥0.
Pour a≥0 et b≥0 : a×b=a×b, et pour b>0 : ba=ba.
Il n'existe aucune règle pour une somme : a+b n'est en général pas égal à a+b.
Pour simplifier, fais apparaître un carré parfait : 12=4×3=23.
L'équation x2=a avec a>0 a deux solutions, a et −a ; avec a<0, elle n'en a aucune.
Pourquoi étudier les racines carrées
Au DNB, on attend de toi que tu saches résoudre des problèmes dans lesquels interviennent des racines carrées 1. Tu rencontres ces nombres dès que tu cherches la longueur du côté d'un carré dont tu connais l'aire, ou dès que tu dois résoudre une équation comme x2=10.
Tu connais déjà le carré d'un nombre : 52=25. La racine carrée fait le chemin inverse : on part de 25 et on cherche le nombre qui, élevé au carré, redonne 25. Dans ce cours, on part de la définition exacte, puis on en déduit toutes les règles de calcul. Rien n'est à apprendre par cœur sans comprendre d'où ça vient.
La définition de la racine carrée
Carrés parfaits et deux égalités à connaître
Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Connaître les premiers par cœur te fait gagner beaucoup de temps, en particulier pour repérer un facteur à sortir d'une racine (voir plus loin). Voici les carrés des entiers de 1 à 12, ainsi que ceux de 15 et de 20.
Carrés parfaits à connaître
Nombre $n$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Carré $n^2$
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
225
400
Carrés parfaits à connaître · Chaque carré est obtenu en multipliant le nombre par lui-même.
Démonstration · Pourquoi ces égalités sont vraies
La première égalité est la définition elle-même : a est un nombre positif dont le carré vaut a2.
Pour la seconde, le nombre a est positif et son carré vaut a2. Par définition, a2 est l'unique nombre positif dont le carré est a22. Or a répond à cette description, donc a2=a.
Valeurs exactes et valeurs approchées
Quand le radicande est un nombre entier qui n'est pas un carré parfait, sa racine carrée n'est pas un nombre décimal. Par exemple, aucun nombre entier n'a un carré égal à 2, et aucune fraction non plus : 2 est un nombre irrationnel. Historiquement, c'est en observant les entiers qui ne sont pas des carrés d'entiers que l'on a pris conscience, pour la première fois, que des nombres irrationnels existent 2. Ce résultat se démontre au lycée ; ici, tu peux l'admettre.
Cette question remonte à l'Antiquité. Sur la tablette d'argile YBC 7289, datée d'environ 1700 avant notre ère, un carré porte le nombre 30 sur l'un de ses côtés, et sa diagonale est accompagnée d'une valeur approchée de 22. C'est la trace la plus ancienne que l'on connaisse d'une racine carrée 2.
Produit et quotient de racines carrées
Démonstration · Démonstration pour le produit
Le nombre a×b est positif ou nul, comme produit de deux nombres positifs ou nuls. Calculons son carré :
(a×b)2=(a)2×(b)2=a×b.
C'est donc un nombre positif dont le carré vaut a×b. Or a×b est l'unique nombre positif dont le carré vaut a×b2. Les deux nombres sont égaux.
La preuve pour le quotient est identique : ba est positif et son carré vaut ba.
Simplifier une racine carrée
Une écriture comme 12 est correcte, mais on peut la rendre plus simple. Cette technique va un peu au-delà des attendus du DNB et sera approfondie en seconde, mais elle t'aidera à calculer plus vite. Le principe est d'écrire le radicande comme le produit d'un carré parfait et d'un autre entier, puis de séparer la racine avec la règle du produit.
Les erreurs classiques avec les sommes
Équations $x^2 = a$ et problèmes
Démonstration · Pourquoi deux solutions
Le nombre a est solution, par définition 2. Le nombre −a aussi, car (−a)2=(a)2=a. Réciproquement, x2=a s'écrit x2−(a)2=0, soit (x−a)(x+a)=0. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : x=a ou x=−a.
Les racines carrées ont aussi une réalité géométrique. À la règle et au compas, on peut construire un segment de longueur a à partir d'un segment de longueur a et d'un segment de longueur 12. Cette construction montre que la racine carrée d'un nombre constructible, comme un nombre rationnel positif, est elle-même constructible 2. La longueur 2 n'est donc pas une curiosité de calcul : on peut la tracer.
Exercices corrigés
Exercice 1 Le côté d'un carré
★☆☆Environ 5 min
Un jardinier dispose d'un carré de pelouse d'aire 50m2.
Donne la valeur exacte du côté du carré, sous la forme ab avec a et b entiers, b le plus petit possible.
Donne une valeur approchée de ce côté, arrondie au dix-millième de mètre.
Indice 1
L'aire d'un carré de côté c vaut c2.
Indice 2
Cherche le plus grand carré parfait qui divise 50.
Voir la correction pas à pas
On note c le côté en mètres. L'aire est c2, donc c2=50.
Un côté est une longueur positive : c=50.
On cherche un carré parfait qui divise 50 : 25 convient, et 50=25×2.
On sépare : 50=25×2=52.
À la calculatrice, 52≈7,0711.
Le côté mesure exactement 52 m, soit environ 7,0711 m. On retient le réflexe : aire d'un carré connue, côté égal à la racine carrée de l'aire.
Exercice 2 Différence de deux carrés de racines
★★☆Environ 8 min
Calcule la valeur exacte de B=(35)2−(20)2.
Indice 1
Utilise (ab)2=a2×b et (x)2=x.
Indice 2
Calcule séparément les deux termes.
Voir la correction pas à pas
Premier terme : (35)2=32×(5)2=9×5=45.
Second terme : (20)2=20, directement par définition de la racine carrée.
On soustrait : B=45−20=25.
On a B=25. Remarque qu'on n'a jamais eu besoin de valeur approchée : élever une racine au carré supprime le radical.
Exercice 3 Une équation avec un carré
★★★Environ 10 min
On considère l'équation 3x2=48.
Résous cette équation dans l'ensemble des nombres que tu connais.
Un carré a le même périmètre qu'un rectangle de largeur x et de longueur 2x, où x est la solution positive de l'équation précédente (en cm). Quel est ce périmètre commun, en cm ?
Indice 1
Divise d'abord les deux membres par 3 pour isoler x2.
Indice 2
Le périmètre d'un rectangle de largeur l et de longueur L est 2(l+L).
Voir la correction pas à pas
On isole x2 : x2=348=16.
Comme 16>0, il y a deux solutions : x=16=4 ou x=−4.
On retient la solution positive : x=4 cm. Le rectangle mesure donc 4 cm sur 8 cm.
Son périmètre vaut 2×(4+8)=24 cm.
L'équation a deux solutions, 4 et −4, mais seule 4 convient pour une longueur. Le périmètre commun est de 24 cm.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
49=7, car 7 est positif et 72=49. Le choix « 7 ou −7 » est tentant parce que (−7)2=49 aussi, mais la racine carrée désigne uniquement le nombre positif. Quant à 24,5, c'est la moitié de 49 : la racine carrée n'est pas une division par deux.
C'est faux : 9+16=25=5, alors que 9+16=3+4=7. La règle de séparation existe pour le produit et le quotient, pas pour la somme.
45=9×5=9×5=35, donc a=3. Écrire 45=9×5 plutôt que 45=3×15 est ce qui fait apparaître un carré parfait.
18=9×2=32. Le choix 23 inverse les rôles : il correspond à 12. Le choix 9+9 vaut 6 et revient à écrire à tort que la racine d'une somme est la somme des racines.
36=6 ; 4×9=2×3=6 ; (6)2=6 par définition. En revanche 4+9=2+3=5 : l'erreur tentante est de confondre somme et produit.
Comme 7>0, l'équation a deux solutions, 7 et −7, car les deux ont un carré égal à 7. Ne retenir que 7 est l'oubli classique ; 49 serait la solution de x=7, pas de x2=7.
On a 49<50<64, donc 7<50<8. Les deux derniers encadrements prennent la moitié de 50 au lieu de sa racine carrée.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi $\sqrt{25} = 5$ et pas aussi $-5$ ?
Parce que la définition de la racine carrée ne retient que le nombre positif dont le carré est égal au radicande 2. C'est ce qui permet d'écrire sans ambiguïté 25=5. Quand tu résous l'équation x2=25, en revanche, les deux nombres 5 et −5 sont solutions : le signe − vient alors de l'équation, pas de la racine.
Comment savoir si une racine carrée se simplifie ?
Cherche un carré parfait (4, 9, 16, 25, 36…) qui divise le radicande. S'il y en a un, tu peux sortir sa racine : 28=4×7=27. S'il n'y en a aucun, comme pour 30 (30=2×3×5), la racine est déjà sous sa forme la plus simple.
Pourquoi ne peut-on pas écrire $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ?
Parce que c'est faux en général. Prends a=9 et b=16 : 25=5, alors que 9+16=7. Il suffit d'un seul contre-exemple pour montrer qu'une règle n'existe pas. La séparation n'est possible que pour un produit ou un quotient.
Faut-il donner la valeur exacte ou une valeur approchée ?
Suis l'énoncé. Sans précision, une valeur exacte comme 23 est préférable, puisqu'elle ne perd aucune information. Si l'énoncé demande un arrondi (« au centième », « au dixième »), donne la valeur approchée demandée, obtenue à la calculatrice, avec le signe ≈. Une racine comme 2 n'est pas décimale : sa valeur approchée n'est jamais exacte.
Ce chapitre tombe-t-il au DNB ?
Les attendus de fin d'année de 3e prévoient que tu saches résoudre des problèmes mettant en jeu des racines carrées 1. Concrètement, on retrouve les racines carrées dans des calculs de longueurs, d'aires, dans des équations du type x2=a et dans des calculs d'expressions à simplifier. Les points à maîtriser : la définition, la simplification, le produit et le quotient, et le piège de la somme.