Racines carrées : exercices corrigés de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La racine carrée d'un nombre positif $x$ est le nombre positif dont le carré vaut $x$ ; on la note $\sqrt{x}$ .²
Pour tout $a \geq 0$ : $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$ .
Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ , ce qui sert à simplifier une racine.
Pour encadrer $\sqrt{x}$ , repère les deux carrés parfaits qui entourent $x$ .
Un problème avec une aire ou une équation $x^2 = k$ se résout en prenant la racine carrée de $k$ , quand $k$ est positif.

Comment utiliser ces exercices

Au programme de 3e, tu dois savoir résoudre des problèmes qui mettent en jeu des racines carrées.¹ Ces exercices sont classés par difficulté croissante. Cherche d'abord seul, avec une feuille de brouillon. Ouvre un indice seulement si tu bloques, puis compare ta solution à la correction, étape par étape.

MéthodeLes gestes à connaître

Carré parfait : si tu reconnais un nombre de la forme $n^2$ , alors $\sqrt{n^2} = n$ . Par exemple $\sqrt{81} = 9$ car $9 \times 9 = 81$ .
Encadrer : si $n^2 < x < (n+1)^2$ , alors $n < \sqrt{x} < n+1$ .
Simplifier : pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ , on peut écrire $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ . La raison : le produit $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ est positif et son carré vaut $a \times b$ , donc c'est bien $\sqrt{a \times b}$ . On cherche alors un facteur qui est un carré parfait.
Équation $x^2 = k$ avec $k > 0$ : les solutions sont $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$ . Dans un problème de longueur ou d'aire, on garde la solution positive.

Les exercices

Exercice 1 Reconnaître des carrés parfaits

★☆☆Environ 5 min

Sans calculatrice, calcule $\sqrt{144} - \sqrt{25}$ .

Indice 1

Cherche un nombre entier qui, multiplié par lui-même, donne 144.

Indice 2

Fais la même chose pour 25, puis soustrais les deux résultats.

Voir la correction pas à pas

On sait que $12 \times 12 = 144$ , donc $\sqrt{144} = 12$ .
On sait que $5 \times 5 = 25$ , donc $\sqrt{25} = 5$ .
On soustrait : $12 - 5 = 7$ .

$\sqrt{144} - \sqrt{25} = 7$ . Remarque que $\sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$ est un tout autre nombre : on ne peut pas soustraire sous la racine.

Exercice 2 Encadrer une racine

★☆☆Environ 6 min

Détermine l'entier $n$ tel que $n < \sqrt{50} < n+1$ .

Indice 1

Écris les carrés des entiers autour de 50 : 36, 49, 64…

Indice 2

Compare 50 à ces carrés.

Voir la correction pas à pas

Les carrés parfaits proches de 50 sont $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$ .
On a $49 < 50 < 64$ .
Comme la racine carrée respecte l'ordre des nombres positifs, $7 < \sqrt{50} < 8$ .
L'entier cherché est donc $n = 7$ .

$7 < \sqrt{50} < 8$ . Comme 50 est très proche de 49, $\sqrt{50}$ est à peine plus grand que 7. La calculatrice confirme : environ 7,07.

Exercice 3 Le côté d'un carré

★☆☆Environ 6 min

Un jardinier dessine un carré dont l'aire est de $169\ \text{m}^2$ . Quel est le périmètre de ce carré, en mètres ?

Indice 1

L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c \times c$ .

Indice 2

Le côté est donc la racine carrée de l'aire.

Voir la correction pas à pas

Si $c$ est le côté, alors $c^2 = 169$ et $c > 0$ .
Donc $c = \sqrt{169} = 13$ m, car $13 \times 13 = 169$ .
Le périmètre d'un carré est $4 \times c$ .
On calcule $4 \times 13 = 52$ .

Le carré a un côté de 13 m et un périmètre de 52 m. Ne confonds pas aire (en m²) et périmètre (en m).

Exercice 4 Simplifier une racine

★★☆Environ 8 min

On peut écrire $\sqrt{72}$ sous la forme $a\sqrt{2}$ avec $a$ entier. Détermine $a$ .

Indice 1

Décompose 72 en un produit dont un facteur est un carré parfait.

Indice 2

Pense à $72 = 36 \times 2$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $72 = 36 \times 2$ , où 36 est un carré parfait.
On applique la propriété du produit : $\sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}$ .
Comme $\sqrt{36} = 6$ , on obtient $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .
Vérification : $(6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$ .

$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ , donc $a = 6$ . Choisis toujours le plus grand carré parfait qui divise le nombre : avec $72 = 4 \times 18$ , tu serais obligé de simplifier une seconde fois.

Exercice 5 Une identité remarquable avec des racines

★★☆Environ 8 min

Calcule $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$ .

Indice 1

Reconnais la forme $(a+b)(a-b)$ .

Indice 2

Rappelle-toi que $(\sqrt{5})^2 = 5$ .

Voir la correction pas à pas

On reconnaît $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $a = \sqrt{5}$ et $b = 2$ .
On calcule $a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ par définition de la racine carrée.
On calcule $b^2 = 2^2 = 4$ .
Donc le produit vaut $5 - 4 = 1$ .

$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 1$ . Deux nombres irrationnels peuvent donc avoir un produit entier : les racines disparaissent grâce à l'identité remarquable.

Exercice 6 Résoudre une équation du type x² = k

★★☆Environ 8 min

Le sol d'une pièce carrée de côté $x$ (en mètres) reçoit 3 couches de vernis. En additionnant les 3 couches, on a verni $75$ m² en tout, soit $3x^2 = 75$ . Quelle est la longueur du côté $x$ , en mètres ?

Indice 1

Isole d'abord $x^2$ en divisant par 3.

Indice 2

Une longueur est positive : garde la solution positive.

Voir la correction pas à pas

On divise les deux membres par 3 : $x^2 = 25$ .
Les solutions de $x^2 = 25$ sont $5$ et $-5$ .
Un côté est une longueur, donc il est positif.
On garde $x = \sqrt{25} = 5$ .

Le côté mesure 5 m. L'équation a deux solutions mathématiques, mais une seule a un sens dans le problème.

Exercice 7 Une longueur avec Pythagore

★★★Environ 10 min

Dans un triangle rectangle, les côtés de l'angle droit mesurent $4$ cm et $7$ cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse, arrondie au centième de centimètre.

Indice 1

Utilise le théorème de Pythagore, vu les années précédentes : le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.

Indice 2

Prends la racine carrée du résultat et arrondis seulement à la fin.

Voir la correction pas à pas

Soit $h$ l'hypoténuse. Alors $h^2 = 4^2 + 7^2$ .
On calcule $h^2 = 16 + 49 = 65$ .
Comme $h > 0$ , $h = \sqrt{65}$ .
65 n'est pas un carré parfait. On encadre : $8^2 = 64 < 65 < 81 = 9^2$ , donc $8 < h < 9$ .
La calculatrice donne $h \approx 8{,}0623$ , soit $8{,}06$ cm au centième.

L'hypoténuse mesure exactement $\sqrt{65}$ cm, soit environ 8,06 cm. Écris la valeur exacte avant l'arrondi : c'est ce que l'on attend dans un problème.

Exercice 8 Racine carrée et notation scientifique

★★★Environ 10 min

Un champ carré a une aire de $3{,}6 \times 10^{7}\ \text{m}^2$ . Calcule la longueur de son côté, en mètres, sans calculatrice.

Indice 1

Écris l'aire comme un produit d'un carré parfait par une puissance de 10 paire : $3{,}6 \times 10^7 = 36 \times 10^6$ .

Indice 2

Utilise $\sqrt{10^6} = 10^3$ .

Voir la correction pas à pas

On passe de $3{,}6 \times 10^7$ à $36 \times 10^6$ (on multiplie 3,6 par 10 et on enlève 1 à l'exposant de 10).
Le côté vérifie $c^2 = 36 \times 10^6$ , donc $c = \sqrt{36} \times \sqrt{10^6}$ .
On a $\sqrt{36} = 6$ et $\sqrt{10^6} = 10^3$ , car $(10^3)^2 = 10^6$ .
Donc $c = 6 \times 10^3 = 6\,000$ m.

Le côté mesure $6 \times 10^3$ m, soit 6 km. Une puissance de 10 à exposant pair a pour racine la puissance de moitié : ce réflexe fait gagner du temps au DNB.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une racine carrée est un nombre entier ?

Pour un nombre entier sous la racine, regarde s'il est un carré parfait : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169… Si oui, la racine est entière. Si c'est un entier qui n'est pas un carré parfait, sa racine est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et sans motif qui se répète, et la calculatrice n'en affiche qu'une valeur approchée.²

Dois-je donner la valeur exacte ou une valeur approchée ?

Écris d'abord la valeur exacte (par exemple $\sqrt{65}$ ou $6\sqrt{2}$ ), puis, si l'énoncé le demande, une valeur arrondie avec la précision indiquée. Arrondis seulement à la dernière étape pour éviter une erreur qui s'accumule.

Pourquoi une équation $x^2 = 25$ a-t-elle deux solutions alors que $\sqrt{25}$ en a une seule ?

La racine carrée est par définition le nombre positif dont le carré vaut 25 : c'est 5.² L'équation $x^2 = 25$ demande tous les nombres dont le carré vaut 25 : 5 et $-5$ . Dans un problème de longueur ou d'aire, tu gardes seulement la solution positive.

Sources

Programme visé : 3e Mathématiques - Attendus de fin d'année (DNB) · Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale)

3e Mathématiques - Attendus de fin d'année (DNB), Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
Racine carrée, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Racine carrée (album), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Reconnaître des carrés parfaits

Exercice 2 Encadrer une racine

Exercice 3 Le côté d'un carré

Exercice 4 Simplifier une racine

Exercice 5 Une identité remarquable avec des racines

Exercice 6 Résoudre une équation du type x² = k

Exercice 7 Une longueur avec Pythagore

Exercice 8 Racine carrée et notation scientifique

Les questions qu'on se pose

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