Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un carré parfait est le carré d'un nombre entier : 0, 1, 4, 9, 16, 25… 5
Au programme de 4e, tu connais les carrés parfaits de 0 à 144, donc ceux des entiers de 0 à 12. 13
Le chiffre des unités d'un carré parfait est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 : c'est un test rapide pour éliminer. 5
Le produit de deux carrés parfaits est un carré parfait. Un entier non nul est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs. 5
Pour encadrer la racine carrée d'un entier, tu cherches les deux carrés parfaits consécutifs qui l'entourent. 1
Du carré dessiné au carré parfait
Imagine que tu dois carreler un sol carré. Tu poses des carreaux identiques, en rangées régulières, et tu te demandes : combien de carreaux me faut-il si chaque côté en compte 5 ? Réponse : 5×5=25. Si le côté en compte 6, il t'en faut 36.
Ces nombres, 25 ou 36, ont une particularité : on peut les disposer exactement en un carré, sans aucun carreau en trop ni en moins. Ce sont des carrés parfaits.
Dans ce cours, tu vas apprendre à les reconnaître vite, à les connaître par cœur jusqu'à 144, et à t'en servir pour encadrer une racine carrée. Le programme de 4e introduit d'ailleurs la racine carrée à partir de situations de géométrie, comme la longueur du côté d'un carré dont on connaît l'aire. 1
Les carrés parfaits à connaître par cœur
Le programme demande de connaître et de reconnaître les carrés parfaits des entiers de 0 à 12. 1 Les attendus de 4e vont jusqu'à 144, qui est le carré de 12. 34 Voici le tableau à apprendre.
Les carrés parfaits de 0 à 144
Entier n
Carré parfait n²
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
10
100
11
121
12
144
Les carrés parfaits de 0 à 144 · Les carrés parfaits à connaître en 4e.
Reconnaître un carré parfait
Pour les petits nombres, la table suffit. Mais comment savoir si 324 ou 2187 est un carré parfait ? Tu disposes de plusieurs outils, du plus rapide au plus sûr.
Carrés parfaits et racine carrée
La racine carrée est la notion qui précède ce chapitre : tu sais déjà que la racine carrée d'un nombre positif est le nombre positif dont le carré donne ce nombre. Le programme demande de connaître et de comprendre cette définition. 13
Les carrés parfaits sont les cas où la racine carrée est un entier : on la lit directement dans la table.
Quand le nombre n'est pas un carré parfait, sa racine carrée n'est pas un entier. On ne peut pas la lire dans la table, mais les carrés parfaits permettent de la situer.
Encadrer une racine carrée avec les carrés parfaits
Le programme demande d'encadrer la racine carrée d'un entier par deux entiers consécutifs. 1 Cette compétence est aussi attendue en fin de 4e. 3 Les carrés parfaits sont tes points de repère.
Pour affiner, tu peux utiliser la calculatrice : les attendus de 4e mentionnent l'usage de la calculatrice pour obtenir une valeur approchée de la racine carrée d'un nombre. 3 Par exemple, la calculatrice donne 50≈7,07, ce qui est bien entre 7 et 8.
Produits, pièges et situations géométriques
Démonstration · Pourquoi le produit reste un carré parfait
Si a=m2 et b=n2 avec m et n entiers, alors ab=m2×n2=(m×n)2. Comme m×n est un entier, ab est le carré d'un entier : c'est un carré parfait.
Les carrés parfaits servent aussi en géométrie. Le programme associe la racine carrée à des situations comme la longueur du côté d'un carré d'aire donnée. 13 Si l'aire est un carré parfait, le côté est un entier. Sinon, le côté est une racine carrée qu'on ne peut qu'encadrer ou approcher.
Exercices corrigés
Exercice 1 Reconnaître des carrés parfaits
★☆☆Environ 8 min
Parmi les nombres suivants, indique lesquels sont des carrés parfaits, et donne leur racine carrée : 36, 50, 121, 2187, 144.
Indice 1
Commence par le chiffre des unités pour éliminer les nombres impossibles.
Indice 2
Compare avec la table des carrés de 0 à 12.
Voir la correction pas à pas
Le nombre 2187 se termine par 7. Or un carré parfait se termine par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Donc 2187 n'est pas un carré parfait.
On cherche 50 dans la table : 72=49 et 82=64. Il n'y est pas, donc 50 n'est pas un carré parfait.
36=62, donc 36 est un carré parfait et 36=6.
121=112, donc 121 est un carré parfait et 121=11.
144=122, donc 144 est un carré parfait et 144=12.
Les carrés parfaits sont 36, 121 et 144, de racines carrées 6, 11 et 12.
Exercice 2 Encadrer une racine carrée
★★☆Environ 10 min
Encadre 90 par deux entiers consécutifs.
Donne la valeur de l'entier le plus petit de cet encadrement.
Indice 1
Cherche les deux carrés parfaits qui entourent 90.
Indice 2
Pense à 92 et 102.
Voir la correction pas à pas
On calcule les carrés parfaits proches de 90 : 92=81 et 102=100.
On vérifie : 81<90<100.
On passe à la racine carrée : 9<90<10.
L'entier le plus petit de l'encadrement est 9.
On a 9<90<10. La calculatrice confirme 90≈9,49.
Exercice 3 Multiplier pour obtenir un carré parfait
★★★Environ 12 min
On considère 72=23×32. Quel est le plus petit entier positif n tel que 72×n soit un carré parfait ?
Indice 1
Regarde la parité de chaque exposant dans la décomposition.
Indice 2
Il faut rendre tous les exposants pairs.
Voir la correction pas à pas
On écrit 72=23×32. L'exposant de 2 est 3 (impair), celui de 3 est 2 (pair).
Pour obtenir un carré parfait, tous les exposants doivent être pairs. Il faut donc rendre l'exposant de 2 pair.
On multiplie par 2 : 72×2=24×32. Les exposants 4 et 2 sont pairs.
On vérifie : 72×2=144=122.
Aucun entier plus petit ne convient : n=1 donne 72, qui n'est pas un carré parfait.
Le plus petit entier est n=2, et 72×2=144=122.
Quiz
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64=8×8=82, c'est donc un carré parfait. Le nombre 48 se situe entre 36 et 49, 50 entre 49 et 64, et 63 juste avant 64 : aucun n'est le carré d'un entier.
Un carré parfait se termine par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, jamais par 7. 5 Le piège est de croire que 5 ou 6 sont impossibles : 52=25 et 42=16 prouvent le contraire.
72=49 et 82=64, donc 49<50<64 et 7<50<8. Le choix 24 et 25 vient de l'erreur qui consiste à diviser par 2 au lieu de prendre une racine carrée.
11×11=121, donc 121=11. Ce n'est pas 60,5 : on ne divise pas par 2, on cherche le nombre dont le carré vaut 121.
Si a=m2 et b=n2, alors ab=(mn)2, qui est le carré d'un entier. 5 L'erreur serait de croire que ce n'est vrai que pour des nombres pairs.
C'est faux : 12 n'est pas un carré parfait, car 32=9 et 42=16. Il en est de même pour 3. 5 Le produit de deux nombres peut être un carré parfait sans que les facteurs le soient.
C'est un carré parfait si et seulement si tous les exposants sont pairs. 5 Par exemple 144=24×32. Un nombre pair comme 10 n'est pas un carré parfait, et 9=32 est impair tout en étant un carré parfait.
Les questions qu'on se pose
Jusqu'à quel nombre dois-je connaître les carrés parfaits ?
Le programme demande les carrés parfaits des entiers de 0 à 12, soit jusqu'à 144. 13 Apprends la table de 02 à 122 par cœur : elle sert dans tous les chapitres sur les racines carrées.
Le nombre 0 est-il un carré parfait ?
Oui, car 0=02 et 0 est un entier. 5 En revanche, on réserve parfois l'expression « nombre carré » aux carrés parfaits non nuls.
Comment savoir vite qu'un grand nombre n'est pas un carré parfait ?
Regarde le chiffre des unités. S'il vaut 2, 3, 7 ou 8, ce n'est pas un carré parfait. 5 S'il vaut 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, tu ne peux pas conclure : il faut encadrer le nombre par deux carrés parfaits ou utiliser la décomposition en facteurs premiers.
À quoi servent les carrés parfaits ?
Ils te permettent de calculer exactement une racine carrée entière, d'encadrer une racine carrée par deux entiers consécutifs 1 et de trouver le côté d'un carré dont l'aire est donnée. 3 Ils servent aussi à vérifier un résultat de calculatrice.
Que faire si la calculatrice donne un nombre à virgule pour une racine ?
Si le nombre de départ est un entier, cela signifie qu'il n'est pas un carré parfait. Le résultat est alors une valeur approchée. 3 Écris-la avec le signe ≈ et garde la valeur exacte, par exemple 15, tant qu'on ne te demande pas de l'arrondir.