Carrés parfaits : exercices corrigés de 4e

On passe en revue chaque nombre. $36 = 6^2$ : c'est un carré parfait.

$40$ se trouve entre $36 = 6^2$ et $49 = 7^2$ : aucun entier n'a pour carré 40, donc ce n'est pas un carré parfait.

$81 = 9^2$ : carré parfait. $90$ se trouve entre $81 = 9^2$ et $100 = 10^2$ : pas un carré parfait.

$121 = 11^2$ : carré parfait. $130$ se trouve entre $121 = 11^2$ et $144 = 12^2$ : pas un carré parfait.

$144 = 12^2$ : carré parfait.

Les carrés parfaits de la liste sont donc 36, 81, 121 et 144 : on en compte 4.

Appelons $c$ le côté en cm. L'aire vaut $c^2$, donc on cherche $c$ tel que $c^2 = 121$ avec $c > 0$.

On sait que $11 \times 11 = 121$, donc $c = \sqrt{121} = 11$.

Le côté mesure donc $11$ cm.

Le périmètre vaut $4 \times 11 = 44$ cm.

Un carré parfait finit par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. ⁵

$1\,442$ finit par 2 et $3\,137$ finit par 7 : ils ne peuvent pas être des carrés parfaits.

$2\,025$ finit par 5 : c'est le seul candidat.

Comme $1\,600 < 2\,025 < 2\,500$, l'entier cherché est compris entre 40 et 50. Un carré qui finit par 5 vient d'un entier qui finit par 5 : on teste 45.

$45 \times 45 = 2\,025$ : on a bien $2\,025 = 45^2$.

On a $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$, donc $49 < 50 < 64$.

On en déduit $7 < \sqrt{50} < 8$.

On a $14^2 = 196$ et $15^2 = 225$, donc $196 < 200 < 225$.

On en déduit $14 < \sqrt{200} < 15$.

Comme 50 est à une unité de 49 et à quatorze unités de 64, $\sqrt{50}$ est beaucoup plus proche de 7 que de 8.

Le côté $c$ (en cm) vérifie $c^2 = 15$ avec $c > 0$ : sa valeur exacte est $c = \sqrt{15}$ cm.

On a $3^2 = 9$ et $4^2 = 16$, donc $9 < 15 < 16$ et $3 < \sqrt{15} < 4$.

Le périmètre vaut $4c$, soit exactement $4\sqrt{15}$ cm.

La calculatrice donne $\sqrt{15} \approx 3{,}873$, donc $4\sqrt{15} \approx 15{,}49$ cm.

Vérification de cohérence : $4 \times 3 = 12$ et $4 \times 4 = 16$, donc le périmètre est entre 12 et 16 cm, ce qui est compatible avec 15,49.

$16 = 4^2$ et $36 = 6^2$ : ce sont deux carrés parfaits.

$16 \times 36 = 576$.

On écrit $16 \times 36 = 4^2 \times 6^2 = (4 \times 6)^2 = 24^2$.

Donc $576 = 24^2$ est un carré parfait, et $\sqrt{576} = 24$.

On remarque que $\sqrt{16} \times \sqrt{36} = 4 \times 6 = 24$ : la racine du produit est ici le produit des racines.

On décompose : $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$.

Un nombre non nul est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs. ⁵

Ici l'exposant de 3 est 2 (pair), mais celui de 2 est 3 (impair) : 72 n'est pas un carré parfait, ce que confirme $8^2 = 64 < 72 < 81 = 9^2$.

Pour rendre l'exposant de 2 pair, on multiplie par un seul facteur 2 : $72 \times 2 = 2^4 \times 3^2$.

Comme $k = 1$ ne convient pas et que $k = 2$ convient, le plus petit entier est $k = 2$.

On a $72 \times 2 = 144 = 12^2$, donc la racine carrée vaut 12.

$14^2 = 196$ est inférieur à 200 : il ne convient pas.

$15^2 = 225$, $16^2 = 256$ et $17^2 = 289$ sont tous strictement compris entre 200 et 300.

$18^2 = 324$ dépasse 300 : on s'arrête ici.

Il y a donc trois carrés parfaits : 225, 256 et 289.

On a $225 < 250 < 256$, donc $15 < \sqrt{250} < 16$.

$12 \times 3 = 36 = 6^2$ : le produit est bien un carré parfait. ⁵

$3$ se trouve entre $1^2$ et $2^2$, et $12$ entre $3^2 = 9$ et $4^2 = 16$ : ni 3 ni 12 ne sont des carrés parfaits.

Le produit est un carré parfait mais aucun des deux facteurs n'en est un : l'affirmation d'Inès est fausse.

Pour la question 3, on cherche $b$ tel que $2 \times b$ soit un carré : $2 \times 8 = 16 = 4^2$.

Ni 2 ni 8 ne sont des carrés parfaits ($1^2 < 2 < 2^2$ et $2^2 < 8 < 3^2$) : $2$ et $8$ forment un second contre-exemple.

Remarque : 12 et 3 ont un facteur commun 3, de même que 2 et 8 ont le facteur commun 2. La propriété d'Inès devient vraie si l'on ajoute une condition : quand les deux entiers non nuls n'ont aucun diviseur commun autre que 1, un produit carré parfait garantit que chacun est un carré parfait. ⁵