Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La racine carrée d'un nombre positif x, notée x, est le seul nombre positif dont le carré est égal à x4.
x s'appelle le radicande et le signe le radical 4. Une racine carrée est toujours positive ou nulle.
Pour tout nombre positif x : (x)2=x et x2=x. Exemple : 49=7 car 72=49.
On ne cherche pas la racine carrée d'un nombre négatif : aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif.
On encadre x par deux entiers consécutifs grâce aux carrés parfaits voisins, puis on affine avec la calculatrice 12.
La racine carrée sert en géométrie : le côté d'un carré d'aire donnée vaut la racine carrée de cette aire 1.
Pourquoi a-t-on besoin de la racine carrée ?
Tu sais déjà calculer l'aire d'un carré : on multiplie le côté par lui-même. Un carré de côté 5 cm a une aire de 5×5=25 cm². Mais que faire dans l'autre sens ? Si on te donne l'aire, comment retrouver le côté ?
C'est exactement ce genre de question qui amène la racine carrée : le programme l'introduit à partir de situations géométriques, comme la longueur du côté d'un carré dont l'aire est connue 1.
Dans ce cours, tu vas :
comprendre la définition de la racine carrée d'un nombre positif 1 ;
utiliser la calculatrice pour obtenir une valeur approchée 2 ;
appliquer tout cela à des problèmes de géométrie 2.
La définition et la notation
Calculer une racine carrée simple
Carrés parfaits et racines carrées
Nombre $n$
Carré $n^2$
Racine carrée de $n^2$
1
1
1
2
4
2
3
9
3
4
16
4
5
25
5
6
36
6
7
49
7
8
64
8
9
81
9
10
100
10
Carrés parfaits et racines carrées · Chaque racine carrée redonne l'entier de départ.
Les pièges : positif, négatif et « une » racine
Quand le radicande n'est pas un carré parfait : l'encadrement
Que vaut 20 ? Aucun nombre entier n'a 20 pour carré : 42=16 et 52=25. La racine carrée de 20 existe pourtant, c'est un nombre positif. Le programme demande de savoir encadrer la racine carrée d'un entier par deux entiers consécutifs 1, et plus généralement celle d'un nombre positif entre deux entiers 2.
ListerÉcris les carrés parfaits proches de x.
RepérerTrouve le carré juste avant et celui juste après x.
Encadrer xÉcris par exemple 16 < 20 < 25.
Passer aux racinesConclus : 4 < racine de 20 < 5.
Encadrer une racine carrée
Valeur approchée avec la calculatrice
Une fois l'encadrement trouvé, tu peux gagner en précision. En 4e, on attend que tu saches te servir de ta calculatrice pour obtenir une valeur approchée d'une racine carrée 2. Sur la plupart des modèles, tu appuies sur la touche du radical, tu tapes le nombre, puis tu valides.
La racine carrée en géométrie
La géométrie est le terrain d'origine de la racine carrée dans le programme 1. Le programme attend que tu saches utiliser la racine carrée d'un nombre positif dans des situations géométriques 2.
Un peu d'histoire
Les racines carrées sont très anciennes. La plus ancienne connue apparaît vers 1700 avant J.-C. sur la tablette d'argile appelée YBC 7289 : elle représente un carré, avec le nombre 30 écrit sur un côté et, le long de la diagonale, une valeur approchée de 24.
Le programme propose d'ailleurs des mises en perspective historiques et culturelles autour de cette notion 1. Retiens simplement que, depuis très longtemps, on a cherché à calculer des longueurs liées à des carrés.
Exercices corrigés
Exercice 1 Le côté d'un carré
★☆☆Environ 5 min
Un carré a une aire de 81 cm². Quelle est la longueur de son côté, en cm ?
Indice 1
Cherche un nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 81.
Voir la correction pas à pas
Le côté c est un nombre positif tel que c2=81.
On reconnaît 9×9=81, donc c=81.
On vérifie : 92=81 et 9 est positif, donc 81=9.
Le côté du carré mesure 9 cm.
Le côté mesure 9 cm : on obtient une longueur en prenant la racine carrée de l'aire.
Exercice 2 Encadrer une racine carrée
★★☆Environ 8 min
Encadre 70 par deux entiers consécutifs.
Donne l'entier n tel que n<70<n+1.
Indice 1
Écris les carrés des entiers autour de 70 : 72, 82, 92, 102.
Voir la correction pas à pas
On liste les carrés parfaits voisins : 82=64 et 92=81.
On compare : 64<70<81.
On passe aux racines carrées : 64<70<81, soit 8<70<9.
L'entier cherché est donc n=8.
On a 8<70<9, donc n=8.
Exercice 3 Un jardin carré
★★☆Environ 8 min
Un jardin carré a une aire de 144 m². On veut poser une clôture sur tout son pourtour. Quelle longueur de clôture, en m, faut-il ?
Indice 1
Trouve d'abord le côté, puis calcule le périmètre d'un carré.
Voir la correction pas à pas
Le côté c est un nombre positif tel que c2=144, donc c=144.
Comme 12×12=144, on a c=12 m.
Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : 4×12=48.
Il faut donc 48 m de clôture.
La clôture mesure 48 m : on a d'abord utilisé la racine carrée pour trouver le côté, puis le périmètre.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La racine carrée de x est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne x4. La moitié de x est une erreur tentante : 36=6 et non 18, car 182=324.
72=49 et 7 est positif, donc 49=7. Le résultat −7 a aussi pour carré 49, mais la racine carrée est toujours positive ; 24,5 vient d'une division par deux qui n'a rien à voir.
Le nombre sous le signe s'appelle le radicande, et le signe lui-même est le radical 4. Le radical est donc le symbole , pas le nombre dessous.
Un carré n'est jamais négatif, et la racine carrée sur les nombres connus n'est définie que pour les nombres positifs 4. Écrire −16=−4 est tentant, mais (−4)2=16, pas −16.
On a 25<30<36 avec 25=52 et 36=62, donc 5<30<6. Choisir 15 et 16 revient à diviser 30 par deux, ce qui est faux : 152=225.
C'est faux : 9+16=25=5, alors que 9+16=3+4=7. La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.
Le côté est 169. Comme 132=169, le côté vaut 13 cm. On ne divise pas l'aire par 4 : ce serait le calcul du côté à partir du périmètre.
La calculatrice donne 4,4721…, soit 4,47 au centième. Cette valeur est cohérente avec l'encadrement 4<20<5 ; 10 vient d'une division par deux et ne convient pas, car 102=100.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi $\sqrt{25} = 5$ et pas $-5$, alors que $(-5)^2 = 25$ aussi ?
Parce que la définition impose un résultat positif : la racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre 4. Il existe bien deux nombres dont le carré vaut 25 (5 et −5), mais le symbole 25 désigne seulement le premier.
Peut-on calculer la racine carrée de zéro ?
Oui. Zéro est considéré comme positif en mathématiques françaises, et 02=0. On a donc 0=0.
Pourquoi ne peut-on pas calculer $\sqrt{-4}$ ?
Parce qu'aucun nombre que tu connais, une fois multiplié par lui-même, ne donne un résultat négatif. Les nombres positifs donnent un carré positif, les nombres négatifs aussi. Sur ces nombres, la racine carrée n'existe que pour les nombres positifs 4.
Comment savoir si une racine carrée est un nombre entier ?
Regarde si le radicande est un carré parfait, c'est-à-dire le carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144… Si oui, la racine est entière, comme 121=11. Sinon, elle se trouve entre deux entiers consécutifs, et tu l'encadres 1.
À quoi sert la racine carrée en pratique ?
Elle permet de retrouver le côté d'un carré quand on connaît son aire 1. Elle servira aussi dans d'autres chapitres de géométrie, où l'on calcule des longueurs 2.
Dois-je écrire la valeur exacte ou la valeur approchée ?
Cela dépend de la consigne. Si l'énoncé demande la valeur exacte, laisse 20. S'il demande un arrondi, utilise la calculatrice et écris ≈ avec le nombre de décimales demandé, par exemple 20≈4,472.