Définition de la racine carrée : exercices de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La racine carrée d'un nombre positif $x$ est le seul nombre positif dont le carré vaut $x$ ; on la note $\sqrt{x}$ .⁴
Elle est toujours positive : $\sqrt{25}=5$ , jamais $-5$ .⁴
Elle sert à trouver le côté d'un carré dont on connaît l'aire.¹
On encadre $\sqrt{x}$ entre deux entiers consécutifs en repérant les carrés d'entiers qui entourent $x$ .¹
La calculatrice donne une valeur approchée de la racine carrée.²

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul(e), sur ton cahier, puis ouvre les indices si tu bloques, et seulement ensuite la correction. Compare chaque étape avec ta propre démarche : c'est là que tu repères ce qui t'a échappé.

Les exercices

Exercice 1 Calculer une racine carrée exacte

★☆☆Environ 3 min

Calcule $\sqrt{49}$ puis justifie ta réponse avec la définition.

Indice 1

Cherche un nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 49.

Indice 2

Table de multiplication : quel nombre multiplié par lui-même fait 49 ?

Voir la correction pas à pas

On cherche le nombre positif dont le carré vaut $49$ .
On essaie : $6\times 6=36$ , trop petit ; $8\times 8=64$ , trop grand ; $7\times 7=49$ .
Le nombre $7$ est positif et son carré vaut $49$ , donc $\sqrt{49}=7$ .

Tu appliques directement la définition : la racine carrée est le nombre positif dont le carré est le radicande.⁴ Réponse : $\sqrt{49}=7$ .

Exercice 2 Le côté d'un carré

★☆☆Environ 4 min

Un carré a pour aire $81\text{ cm}^2$ . Quelle est la longueur de son côté, en cm ?

Indice 1

L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c\times c$ .

Indice 2

Le côté est donc la racine carrée de l'aire.

Voir la correction pas à pas

Notons $c$ le côté, en cm. L'aire du carré est $c\times c$ .
On a donc $c\times c=81$ , avec $c>0$ car c'est une longueur.
Par définition, $c=\sqrt{81}$ . Comme $9\times 9=81$ , on obtient $c=9$ .
Vérification : $9\text{ cm}\times 9\text{ cm}=81\text{ cm}^2$ , c'est bien l'aire donnée.

La racine carrée sert ici à passer d'une aire à une longueur, ce qui correspond à la situation géométrique de départ du programme.¹ Le côté mesure $9$ cm.

Exercice 3 Carré d'une racine et racine d'un carré

★☆☆Environ 5 min

Calcule $A=\sqrt{6^2}+\left(\sqrt{10}\right)^2$ .

Indice 1

$\sqrt{10}$ est le nombre positif dont le carré vaut 10.

Indice 2

Que vaut $6^2$ ? Quelle est la racine carrée de ce nombre ?

Voir la correction pas à pas

On calcule $6^2=36$ . Le nombre positif dont le carré est $36$ est $6$ , donc $\sqrt{6^2}=6$ .
Par définition, $\sqrt{10}$ est le nombre positif dont le carré vaut $10$ , donc $\left(\sqrt{10}\right)^2=10$ .
On additionne : $A=6+10=16$ .

Élever au carré un nombre positif et prendre sa racine carrée sont deux opérations qui s'annulent, dans un sens comme dans l'autre.⁴ Réponse : $A=16$ .

Exercice 4 Encadrer une racine carrée

★★☆Environ 6 min

Encadre $\sqrt{50}$ par deux nombres entiers consécutifs. Justifie avec des carrés d'entiers.

Indice 1

Cherche le plus grand carré d'entier inférieur ou égal à 50, puis le plus petit supérieur ou égal à 50.

Indice 2

Une fois les deux carrés trouvés, prends leurs racines carrées.

Voir la correction pas à pas

On dresse quelques carrés : $6^2=36$ , $7^2=49$ , $8^2=64$ .
On repère que $49<50<64$ , c'est-à-dire $7^2<50<8^2$ .
Les racines carrées sont rangées dans le même ordre que les nombres positifs : $7<\sqrt{50}<8$ .
Les entiers $7$ et $8$ sont bien consécutifs.

Encadrer une racine carrée entre deux entiers fait partie des attendus de fin de 4e.² Réponse : $7<\sqrt{50}<8$ . Réponse : $7<\sqrt{50}<8$ .

Exercice 5 Périmètre d'un carré

★★☆Environ 6 min

Un carré a pour aire $36\text{ m}^2$ . Calcule son périmètre, en mètres.

Indice 1

Commence par trouver le côté du carré.

Indice 2

Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté.

Voir la correction pas à pas

Soit $c$ le côté en mètres. Alors $c\times c=36$ et $c>0$ .
Donc $c=\sqrt{36}=6$ , car $6\times 6=36$ .
Le périmètre vaut $4\times c=4\times 6=24$ .
L'unité est le mètre, puisqu'on additionne des longueurs : $24$ m.

Attention à ne pas répondre $6$ : c'est le côté, pas le périmètre. Relis toujours la question posée. Réponse : $24$ m.

Exercice 6 Une valeur approchée à la calculatrice

★★★Environ 8 min

Un jardin carré a une aire de $150\text{ m}^2$ .

Encadre la longueur de son côté par deux entiers consécutifs.
Donne une valeur approchée du côté au dixième de mètre près, à l'aide de la calculatrice.

Indice 1

Pour l'encadrement, pense à $12^2$ et $13^2$ .

Indice 2

Pour la valeur approchée, utilise la touche racine carrée, puis arrondis au dixième.

Voir la correction pas à pas

Le côté $c$ vérifie $c\times c=150$ , donc $c=\sqrt{150}$ .
On calcule $12^2=144$ et $13^2=169$ . Comme $144<150<169$ , on a $12<\sqrt{150}<13$ .
À la calculatrice, on lit $\sqrt{150}\approx 12{,}247$ .
On arrondit au dixième : le chiffre des centièmes est $4$ , donc on garde $12{,}2$ .
Contrôle de cohérence : $12{,}2$ est bien compris entre $12$ et $13$ .

La calculatrice fournit une valeur approchée de la racine carrée, et l'encadrement par deux entiers permet de vérifier que le résultat est plausible.² Le côté mesure environ $12{,}2$ m.

Exercice 7 Vrai ou faux ? Justifier

★★★Environ 8 min

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.

$\sqrt{25}=-5$ ou $\sqrt{25}=5$ , les deux sont possibles.
$\sqrt{-9}$ existe parmi les nombres que tu connais en 4e.
$\sqrt{16+9}=\sqrt{16}+\sqrt{9}$ .

Indice 1

Relis la définition : la racine carrée est un nombre positif.

Indice 2

Peut-on trouver un nombre positif dont le carré est négatif ?

Indice 3

Calcule séparément chaque membre de l'égalité 3.

Voir la correction pas à pas

Affirmation 1 : fausse. Le symbole $\sqrt{25}$ désigne uniquement le nombre positif dont le carré est $25$ , donc $\sqrt{25}=5$ .⁴ Le nombre $-5$ a aussi pour carré $25$ , mais ce n'est pas $\sqrt{25}$ .
Affirmation 2 : fausse. Le carré d'un nombre n'est jamais négatif, et la racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs.⁴ Il n'existe donc pas de nombre pour $\sqrt{-9}$ dans ton programme.
Affirmation 3 : on calcule le membre de gauche. $16+9=25$ donc $\sqrt{25}=5$ .
Puis le membre de droite : $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$ .
Comme $5\neq 7$ , l'affirmation 3 est fausse : la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.

Trois affirmations, trois fausses : ce sont des erreurs très courantes. La racine carrée est toujours positive, n'existe que pour un nombre positif, et ne se « distribue » pas sur une addition.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi $\sqrt{25}$ vaut 5 et pas aussi $-5$ ?

Parce que le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ désigne par convention le nombre positif dont le carré est le radicande.⁴ Le nombre $-5$ a bien un carré égal à $25$ , mais ce n'est pas la racine carrée de $25$ . Quand tu lis « la racine carrée », le résultat est donc toujours positif.

Comment savoir si une racine carrée est un nombre entier ?

Regarde si le radicande est le carré d'un entier, par exemple $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ . Si oui, la racine carrée est cet entier. Sinon, encadre-la entre deux entiers consécutifs¹ et utilise la calculatrice pour une valeur approchée.²

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques du cycle 4 (dont 4e) - Racine carrée · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques du cycle 4 (dont 4e) - Racine carrée, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
4e Mathématiques - ATTENDUS de fin d'année, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Racines carrées - Série 1 : Définition (Sésamath Cahiers), Sésamath. Consulté le 11 novembre 2026.
Racine carrée, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Racine de l'erreur quadratique moyenne, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Comment utiliser ces exercices

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Exercice 1 Calculer une racine carrée exacte

Exercice 2 Le côté d'un carré

Exercice 3 Carré d'une racine et racine d'un carré

Exercice 4 Encadrer une racine carrée

Exercice 5 Périmètre d'un carré

Exercice 6 Une valeur approchée à la calculatrice

Exercice 7 Vrai ou faux ? Justifier

Les questions qu'on se pose

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