La droite des milieux : cours de 4e

Prends un triangle quelconque, place le milieu de deux de ses côtés, puis trace le segment qui relie ces deux points. Il paraît « couché » dans la même direction que le troisième côté, et il est nettement plus petit. Ce n'est pas une illusion d'optique : on peut le démontrer.

Cette propriété porte le nom de théorème de la droite des milieux, ou théorème des milieux. En cycle 4, le programme t'invite à connaître trois théorèmes sur ce sujet ². Tu dois aussi apprendre à t'en servir : prouver que des droites sont parallèles, calculer une longueur, ou prouver qu'un point est un milieu ².

Dans ce cours, tu vas voir :

• l'énoncé précis de chaque théorème ;
• une démonstration du premier, pour comprendre pourquoi il est vrai ;
• la méthode pour rédiger une réponse sans oublier d'argument ;
• les erreurs que l'on fait le plus souvent.

Pour fixer les idées, on travaille avec un triangle $ABC$. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$. La droite $(IJ)$ est alors la droite des milieux ; elle relie deux côtés qui se rejoignent en $A$ et elle « fait face » au côté $[BC]$, que l'on appelle le troisième côté.

Un triangle possède trois droites des milieux, une pour chaque paire de côtés. Si tu les traces toutes les trois, le triangle se découpe en quatre petits triangles : c'est un joli prolongement, mais il n'est pas nécessaire pour la suite.

Ce théorème sert à prouver que deux droites sont parallèles à partir de deux milieux ⁴. Les données de départ sont donc deux milieux ; la conclusion est un parallélisme.

Ce théorème sert à calculer une longueur ². Tu peux l'utiliser dans les deux sens :

• si tu connais $BC$, tu en déduis $IJ = \dfrac{BC}{2}$ ;
• si tu connais $IJ$, tu en déduis $BC = 2 \times IJ$.

Ce troisième théorème fait le chemin inverse du premier. Il permet de prouver qu'un point est un milieu, à partir d'un milieu et d'un parallélisme ⁴. Le premier théorème, lui, part de deux milieux pour obtenir un parallélisme ⁴.

Les exercices sur la droite des milieux se ressemblent beaucoup. Voici les trois grandes familles, avec ce qui les distingue.

Dans un énoncé, la configuration n'est pas toujours dessinée de façon évidente. Voici des situations où penser à la droite des milieux :

• on te parle de deux milieux dans la même figure, même si les points portent des noms inhabituels ;
• on te demande de prouver un parallélisme alors qu'aucun angle ni aucune droite perpendiculaire n'est donné ;
• on te donne un milieu et un parallélisme et on te demande un point d'intersection ;
• on te demande une longueur et on connaît une longueur « deux fois plus grande » ou « deux fois plus petite » dans la figure.

Si la figure est un quadrilatère, cherche un triangle : tu peux souvent en faire apparaître un en traçant une diagonale. Les droites des milieux de deux triangles peuvent alors se compléter pour montrer des propriétés du quadrilatère.