Droite des milieux : exercices corrigés de 4e

On se place dans le triangle $ABC$ : $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le milieu de $[AC]$.

Le segment $[IJ]$ joint les milieux de deux côtés. Le troisième côté est donc $[BC]$.

D'après le théorème sur la longueur du segment des milieux, $IJ$ est égal à la moitié de $BC$.

Calcul : $IJ = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.

Dans le triangle $EFG$, $M$ et $N$ sont les milieux de $[EF]$ et $[EG]$.

Le segment $[MN]$ mesure donc la moitié du côté $[FG]$.

On en déduit que $FG$ est le double de $MN$.

Calcul : $FG = 2 \times 3{,}2 = 6{,}4$ cm.

Dans le triangle $RST$, $U$ est le milieu de $[RS]$ et $V$ est le milieu de $[RT]$.

La droite $(UV)$ passe donc par les milieux de deux côtés du triangle.

D'après le théorème de la droite des milieux, elle est parallèle au troisième côté, c'est-à-dire $[ST]$.

Conclusion : $(UV) \parallel (ST)$.

Dans le triangle $ABC$, $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$, donc $IJ = \dfrac{BC}{2} = 6$ cm.

Dans le triangle $ABC$, $I$ et $K$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$, donc $IK = \dfrac{AC}{2} = 7$ cm.

Dans le triangle $ABC$, $J$ et $K$ sont les milieux de $[AC]$ et $[BC]$, donc $JK = \dfrac{AB}{2} = 5$ cm.

Périmètre : $IJ + IK + JK = 6 + 7 + 5 = 18$ cm.

On remarque que $18$ est la moitié du périmètre de $ABC$, qui vaut $36$ cm.

Dans le triangle $ABC$, la droite $(IJ)$ passe par le milieu $I$ du côté $[AB]$.

Elle est parallèle au côté $[BC]$ par construction.

D'après la réciproque de la propriété des milieux, elle passe par le milieu du troisième côté $[AC]$.

Or $J$ est le point où elle coupe $[AC]$, donc $J$ est le milieu de $[AC]$.

Calcul : $AJ = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$ cm.

Dans le triangle $ABC$, $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$, donc $BC = 2 \times IJ$.

On écrit l'équation : $5x - 4 = 2(2x + 1)$.

On développe : $5x - 4 = 4x + 2$.

On isole $x$ : $5x - 4x = 2 + 4$, donc $x = 6$.

On calcule : $IJ = 2 \times 6 + 1 = 13$ cm et $BC = 5 \times 6 - 4 = 26$ cm.

Vérification : $26 = 2 \times 13$.

Dans le triangle $ABC$, $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$, donc $(IJ) \parallel (AC)$ et $IJ = \dfrac{AC}{2}$.

Dans le triangle $ADC$, $L$ et $K$ sont les milieux de $[AD]$ et $[CD]$, donc $(LK) \parallel (AC)$ et $LK = \dfrac{AC}{2}$.

Les droites $(IJ)$ et $(LK)$ sont parallèles à la même droite $(AC)$, donc parallèles entre elles. De plus $IJ = LK$.

Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme : $IJKL$ en est un.

De même, dans les triangles $ABD$ et $CBD$, on obtient $IL = JK = \dfrac{BD}{2} = 4$ cm.

Les côtés $IJ$ et $LK$ mesurent chacun $\dfrac{10}{2} = 5$ cm.

Périmètre : $2 \times 5 + 2 \times 4 = 18$ cm.

Dans le triangle $ABC$, $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$, donc $IJ = \dfrac{12}{2} = 6$ cm et $(IJ) \parallel (BC)$.

Dans le triangle $AIJ$, $P$ est le milieu de $[AI]$ et $Q$ est le milieu de $[AJ]$, donc $PQ = \dfrac{IJ}{2}$.

Calcul : $PQ = \dfrac{6}{2} = 3$ cm.

Toujours dans le triangle $AIJ$, $(PQ) \parallel (IJ)$.

Or $(IJ) \parallel (BC)$, donc $(PQ) \parallel (BC)$ : deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.