Solides usuels et volumes : cours de CAP

Un plombier doit savoir combien de litres contient une cuve. Un maçon commande des mètres cubes de béton pour couler une dalle. Un cuisinier choisit une casserole d'après sa contenance. Un peintre carrossier, un agent de logistique, un électricien qui choisit une gaine : tous manipulent des solides et leurs volumes.

Dans ce chapitre, tu apprends à reconnaître les solides courants, à retenir une formule pour chacun, à calculer un volume pas à pas et à le convertir en litres. Tu t'appuies sur ce que tu connais déjà : les figures planes et leurs aires. Le programme de mathématiques classe d'ailleurs le calcul du volume d'un solide dans le thème « grandeurs et mesures » ¹, et des formules permettent de calculer les volumes des solides usuels ².

Autrement dit, un solide est un objet « plein » : l'intérieur et l'extérieur sont séparés par une surface bien nette. Une brique, une balle, une boîte de conserve ou un tuyau bouché aux deux bouts sont des solides.

Certains solides reviennent si souvent qu'on leur a donné un nom : parmi eux figurent le parallélépipède (le cube en est un cas particulier), le tétraèdre, la boule, le cylindre de révolution, le cône et la pyramide, notamment celle dont la base est un carré ⁴. En CAP, tu rencontres surtout le cube, le pavé droit, le prisme droit, le cylindre, la pyramide, le cône et la boule.

Un cube de $1\ \text{cm}$ d'arête a un volume de $1\ \text{cm}^3$. Un cube de $1\ \text{dm}$ d'arête (10 cm) a un volume de $1\ \text{dm}^3$, soit $10 \times 10 \times 10 = 1\,000\ \text{cm}^3$. De même, $1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3$.

Pour les liquides et les contenances, on utilise souvent le litre. Le lien est direct : un litre, c'est le volume d'un cube de 1 dm d'arête.

Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) a six faces rectangulaires. Une boîte à chaussures, une brique, un aquarium, une pièce d'habitation sont des pavés droits. Il est décrit par trois dimensions : la longueur $L$, la largeur $l$ et la hauteur $h$.

Le cube est un pavé droit particulier dont les douze arêtes ont la même longueur $c$.

D'où vient cette formule ? Imagine le fond du pavé recouvert de petits cubes de 1 cm d'arête. S'il mesure 5 cm sur 3 cm, il y a $5 \times 3 = 15$ cubes sur la première couche : c'est l'aire de la base. Si le pavé a 4 cm de haut, on empile 4 couches identiques, donc $15 \times 4 = 60$ petits cubes. Le volume est donc $60\ \text{cm}^3$.

Le raisonnement est le même que pour le pavé : on empile des couches identiques à la base. Le pavé droit est d'ailleurs un prisme droit dont la base est un rectangle, et son aire $L \times l$ multipliée par $h$ redonne la formule précédente.

Ce tiers se comprend en remplissant : on compare une pyramide et un prisme qui ont la même base et la même hauteur. Il faut verser le contenu de la pyramide trois fois pour remplir le prisme. Le volume de la pyramide est donc le tiers de celui du prisme correspondant. Retiens-le ainsi : « pointu = un tiers ».

En atelier ou sur chantier, le volume sert à commander des matériaux, à doser des produits et à vérifier des capacités. Quelques réflexes aident :

• Béton, terre, sable : on raisonne en $\text{m}^3$. Une dalle de $5\ \text{m}$ sur $4\ \text{m}$ et de $10\ \text{cm}$ d'épaisseur ($0{,}1\ \text{m}$) demande $5 \times 4 \times 0{,}1 = 2\ \text{m}^3$.
• Liquides : on raisonne en litres. Une cuve de $80\ \text{cm}$ sur $50\ \text{cm}$ sur $60\ \text{cm}$ contient $240\,000\ \text{cm}^3 = 240\ \text{L}$.
• Produits dosés : en santé, restauration ou hygiène, on lit des millilitres : $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}$.

Pense toujours à vérifier que ton résultat est vraisemblable : une bouteille d'eau ne contient pas 150 L, un camion-citerne ne contient pas 15 L.