Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le théorème de Pythagore concerne les triangles qui ont un angle droit : la longueur de l'hypoténuse, le côté en face de cet angle, au carré, vaut la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.2
Pour l'hypoténuse : on additionne les carrés puis on prend la racine carrée. Pour un côté de l'angle droit : on soustrait puis on prend la racine carrée.
La réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle : on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.1
Piège classique : oublier d'élever au carré, ou additionner alors qu'il faut soustraire.1
Cas typique en situation : la diagonale d'un rectangle1, mais aussi la longueur d'une échelle, d'une rampe ou d'un hauban.
À quoi sert le théorème de Pythagore ?
Tu as un rectangle de plaque à découper et tu veux connaître la longueur de sa diagonale. Tu dois savoir si une échelle de 5 m atteint une fenêtre située à 4,8 m de haut. Tu veux vérifier qu'un coffrage a bien un angle droit. Dans tous ces cas, tu ne peux pas toujours mesurer directement : il faut calculer une longueur à partir des deux autres.
C'est exactement ce que permet le théorème de Pythagore. Il met en relation les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle.2 Il figure au programme de mathématiques du CAP, avec sa réciproque, à côté des figures planes usuelles et de la formule de l'aire d'un rectangle.1
Au CAP, on te demande surtout de l'utiliser dans une situation concrète : un plan, un schéma d'atelier, un problème de chantier. Le travail consiste souvent à découper un problème compliqué en petites tâches simples.1 Par exemple : repérer le triangle rectangle caché dans la figure, calculer une longueur, puis s'en servir pour la suite (un périmètre, un coût, une comparaison).
Le triangle rectangle et son vocabulaire
Triangle ABC rectangle en A · L'hypoténuse [BC] est en face de l'angle droit.
Sur la figure, le triangle ABC est rectangle en A. L'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est le côté [BC], celui qui ne touche pas A. Les côtés de l'angle droit sont [AB] et [AC].
La première chose à faire, avant tout calcul, est donc de repérer l'angle droit puis de nommer l'hypoténuse. Si tu te trompes ici, tout le reste est faux.
L'énoncé du théorème
Cette écriture se retrouve avec d'autres lettres. Dans un triangle RST dont l'hypoténuse est [RS], on écrit RS2=RT2+ST2.1 Les lettres changent, la structure reste la même : à gauche, l'hypoténuse au carré ; à droite, la somme des carrés des deux autres côtés.
Calculer l'hypoténuse
Angle droitRepère-le sur le schéma
HypoténuseC'est le côté d'en face
RelationHypoténuse² = somme des carrés
CalculAdditionne ou soustrais, puis racine
ConclusionRéponse avec unité et contrôle
Calculer une longueur avec Pythagore
Calculer un côté de l'angle droit
Souvent, on connaît l'hypoténuse et un seul des deux autres côtés. La relation de Pythagore reste vraie, mais on la retourne : le côté inconnu est un terme de la somme, pas le résultat.
Quelle opération choisir ?
On cherche
Opération
Exemple (côtés 3, 4, 5)
L'hypoténuse
Additionner les carrés
3² + 4² = 25, donc 5
Un côté de l'angle droit
Soustraire les carrés
5² − 3² = 16, donc 4
Quelle opération choisir ?
Pythagore dans une situation concrète
Au CAP, l'énoncé décrit rarement « un triangle rectangle en A ». Il parle d'un rectangle, d'un toit, d'une rampe, d'un cadre, d'un portail. À toi de faire apparaître le triangle rectangle. Les erreurs relevées dans les documents officiels portent d'ailleurs souvent sur ce passage : appliquer la relation à partir des valeurs de l'énoncé au lieu de celles du schéma, mal placer l'hypoténuse, ou oublier d'élever au carré.1
La réciproque : un triangle est-il rectangle ?
Parfois, on ne te dit pas que le triangle est rectangle : on te demande de le vérifier, par exemple pour contrôler l'équerrage d'un cadre. La réciproque du théorème de Pythagore, elle aussi au programme du CAP,1 répond à cette question.
Un peu d'histoire : un résultat très ancien
Le nom de Pythagore est resté attaché à ce théorème, mais la relation était déjà connue des Égyptiens et des Mésopotamiens.3 On pense qu'elle n'avait en revanche probablement jamais été démontrée dans le bassin méditerranéen avant l'école de Pythagore.3 Les écoliers qui l'étudient aujourd'hui s'inscrivent donc dans une tradition très ancienne.3
Ce théorème a eu des conséquences surprenantes. Les mathématiciens grecs, probablement au Ve siècle avant notre ère, ont découvert à partir de lui des longueurs qui ne peuvent pas se mesurer avec la même unité.2 Le cas du carré de côté 1 est le plus simple : le carré de sa diagonale vaut 2, et aucune fraction d'entiers ne donne 2 quand on l'élève au carré.2 On retrouve ce nombre avec notre méthode : d2=12+12=2.
Le théorème a aussi été démontré de très nombreuses manières : plusieurs centaines de preuves différentes ont été recensées, souvent à partir de découpages et de recollements de surfaces.2
Erreurs fréquentes et vérifications
Exercices corrigés
Exercice 1 La diagonale d'un panneau
★☆☆Environ 5 min
Un panneau rectangulaire mesure 12 cm de long et 5 cm de large. Calcule la longueur de sa diagonale en centimètres.
Indice 1
La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la longueur et la largeur.
Indice 2
Additionne les carrés des deux côtés, puis prends la racine carrée.
Voir la correction pas à pas
Le rectangle a quatre angles droits : la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 12 cm et 5 cm.
On écrit la relation de Pythagore : d2=122+52.
On calcule : d2=144+25=169.
On prend la racine carrée : d=169=13 cm.
Contrôle : 13 cm est plus grand que 12 cm et que 5 cm.
La diagonale mesure 13 cm. On a additionné les carrés, car on cherchait l'hypoténuse.
Exercice 2 L'échelle contre le mur
★★☆Environ 8 min
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé sur un sol horizontal, à 1,4 m du mur. À quelle hauteur, en mètres, l'échelle touche-t-elle le mur ?
Indice 1
Le mur et le sol forment un angle droit : l'échelle est l'hypoténuse.
Indice 2
On cherche un côté de l'angle droit : il faut soustraire les carrés.
Voir la correction pas à pas
On repère l'angle droit entre le mur et le sol. L'échelle (5 m) est l'hypoténuse.
On note h la hauteur cherchée : 52=h2+1,42.
On isole : h2=52−1,42=25−1,96=23,04.
On prend la racine carrée : h=23,04=4,8 m.
Contrôle : 4,8 m est plus petit que 5 m (l'hypoténuse).
L'échelle touche le mur à 4,8 m de hauteur. Comme on cherchait un côté de l'angle droit, on a soustrait les carrés.
Exercice 3 Une rampe d'accès
★★☆Environ 8 min
Une rampe d'accès monte de 0,9 m de hauteur sur une distance horizontale de 3,6 m. On veut connaître la longueur de la rampe. Calcule-la en mètres et arrondis au centième.
Indice 1
Hauteur et distance horizontale forment un angle droit : la rampe est l'hypoténuse.
Indice 2
Garde toutes les décimales de la calculatrice jusqu'à l'arrondi final.
Voir la correction pas à pas
Le sol est horizontal et la hauteur est verticale : le triangle est rectangle, la rampe est l'hypoténuse.
On écrit : r2=0,92+3,62.
On calcule : r2=0,81+12,96=13,77.
On prend la racine carrée : r=13,77≈3,71 m.
Contrôle : 3,71 m est plus grand que 3,6 m et que 0,9 m.
La rampe mesure environ 3,71 m. On arrondit seulement à la fin du calcul.
Exercice 4 Ce cadre est-il d'équerre ?
★★★Environ 10 min
Un triangle de renfort a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifie avec un calcul, puis dis où se trouve l'angle droit s'il existe.
Indice 1
Repère d'abord le plus grand côté et calcule son carré séparément.
Indice 2
Compare avec la somme des carrés des deux autres côtés.
Voir la correction pas à pas
Le plus grand côté mesure 25 cm. On calcule son carré : 252=625.
On calcule la somme des carrés des deux autres côtés : 72+242=49+576=625.
On compare : 252=72+242. L'égalité est vérifiée.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
L'angle droit est opposé au plus grand côté : il se trouve entre les côtés de 7 cm et de 24 cm.
Le triangle est rectangle, avec l'angle droit en face du côté de 25 cm.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
L'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est [BC] et c'est son carré qui vaut la somme des deux autres.2 Les réponses 2 et 4 mettent à gauche un côté de l'angle droit, ce qui est faux. La réponse 3 oublie les carrés, une erreur classique.
On calcule 62+82=36+64=100, puis 100=10 cm. La valeur 14 viendrait de 6+8 : on aurait oublié les carrés, alors que l'hypoténuse est inférieure à la somme des deux autres côtés.
C'est faux : il met en relation les côtés d'un triangle rectangle seulement.2 Dans un triangle sans angle droit, la relation c2=a2+b2 n'est pas vraie, donc on ne peut pas s'en servir pour calculer.
On cherche un côté de l'angle droit : 132−52=169−25=144, et 144=12 cm. La réponse 8 vient de 13−5 (sans carrés). La réponse 18 vient de 13+5. La réponse 194 vient de l'addition 132+52, alors qu'il faut soustraire.
Il faut écrire 32+42=25=5 cm. L'oubli des carrés est une erreur fréquemment relevée dans ce type de situation.1 La soustraction ne sert que pour un côté de l'angle droit ; ici la diagonale est l'hypoténuse, donc on additionne.
Le plus grand côté est 13 cm : 132=169. Les deux autres donnent 25+144=169. L'égalité est vraie, donc la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle est rectangle.1 Penser qu'il ne l'est pas parce que les nombres « ne se suivent pas » n'est pas un argument.
6, 8, 10 : 62+82=100=102, donc rectangle. 5, 12, 13 : 25+144=169=132, donc rectangle. 4, 5, 6 : 16+25=41 alors que 62=36, donc pas rectangle. 7, 8, 9 : 49+64=113 alors que 92=81, donc pas rectangle. Des longueurs « proches » ne suffisent pas : il faut une égalité exacte.
On cherche un côté de l'angle droit : 2,52−1,52=6,25−2,25=4, donc h=4=2 m. Une hauteur de 4 m serait fausse : c'est le carré de la hauteur, qu'on oublie de passer à la racine carrée.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quel est le côté à mettre « tout seul » dans la formule ?
C'est toujours l'hypoténuse, le côté en face de l'angle droit. Repère d'abord l'angle droit (petit carré sur le schéma, ou « rectangle en … »), puis prends le côté formé par les deux autres lettres. Son carré s'écrit seul d'un côté de l'égalité ; la somme des deux autres carrés est de l'autre côté.
Quand faut-il additionner et quand faut-il soustraire ?
Tu additionnes les carrés quand tu cherches l'hypoténuse. Tu soustrais quand tu cherches un côté de l'angle droit : carré de l'hypoténuse moins carré de l'autre côté. Contrôle final : l'hypoténuse doit rester le plus long côté. Si ton résultat est plus long qu'elle, tu t'es trompé d'opération.
Que faire si le résultat n'est pas un nombre entier ?
C'est très fréquent. Tu écris la racine carrée exacte si on te le demande, sinon tu donnes une valeur arrondie à la précision de l'énoncé (par exemple au centième) avec l'unité. Arrondis seulement à la fin, jamais pendant le calcul. Par exemple, 34≈5,83.
Comment repérer le théorème de Pythagore dans un problème concret ?
Cherche un angle droit : coin d'un rectangle, mur et sol, équerre. Dessine ensuite le triangle rectangle qu'il forme avec la diagonale, la rampe, l'échelle ou le câble, et reporte les mesures sur ton schéma. Dans les situations d'examen, la difficulté est souvent de bien identifier ce triangle et de découper la question en plusieurs étapes.1
Quelle différence entre le théorème et sa réciproque ?
Le théorème part d'un triangle dont on sait qu'il est rectangle pour calculer une longueur. La réciproque part des trois longueurs pour prouver que le triangle est rectangle (ou ne l'est pas). Les deux sont au programme du CAP.1 Si l'énoncé t'annonce déjà un angle droit, c'est le théorème ; sinon, c'est la réciproque.