Théorème de Pythagore : exercices corrigés de CAP

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle ; il ne s'applique qu'avec un angle droit.²
Hypoténuse : $c^2 = a^2 + b^2$ , donc on additionne les carrés puis on prend la racine carrée.
Côté de l'angle droit : on soustrait, $a^2 = c^2 - b^2$ , car l'hypoténuse est le plus grand côté.
Dans un rectangle, la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ; l'oubli du carré est une erreur classique.¹
La réciproque sert à prouver qu'un angle est droit : on compare le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.¹

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices suivent la progression du CAP : d'abord le calcul direct d'une hypoténuse, puis celui d'un côté de l'angle droit, ensuite des situations de la vie professionnelle où il faut repérer soi-même le triangle rectangle. Le programme demande d'utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque dans des situations concrètes, et de découper une tâche complexe en tâches plus simples.¹ C'est exactement ce que tu vas pratiquer ici.

Cherche d'abord seul(e), sur ton cahier, avec un schéma. Ouvre un indice seulement si tu bloques, puis compare ta démarche à la correction, étape par étape. Si ton résultat diffère, repère à quelle étape tu t'es écarté(e).

Les exercices

Exercice 1 Calculer une hypoténuse (6 et 8)

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse $BC$ en cm.

Indice 1

Où est l'angle droit ? L'hypoténuse est le côté en face.

Indice 2

Écris d'abord $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle en $A$ : l'hypoténuse est donc $[BC]$ .
On écrit l'égalité de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
On remplace : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ .
On prend la racine carrée : $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

L'hypoténuse mesure 10 cm. C'est bien le plus grand des trois côtés (6, 8 et 10).

Exercice 2 Une hypoténuse avec 5 et 12

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$ , avec $DE = 5$ cm et $EF = 12$ cm. Calcule $DF$ en cm.

Indice 1

Repère l'angle droit pour trouver l'hypoténuse.

Indice 2

On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit.

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $E$ : l'hypoténuse est $[DF]$ .
On écrit : $DF^2 = DE^2 + EF^2$ .
On calcule : $DF^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ .
Donc $DF = \sqrt{169} = 13$ cm.

On trouve 13 cm. Garde en mémoire ces triplets (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13) et (6 ; 8 ; 10) : ils reviennent souvent.

Exercice 3 Calculer un côté de l'angle droit

★☆☆Environ 7 min

Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$ . Son hypoténuse $GI$ mesure 17 cm et $GH = 8$ cm. Calcule $HI$ en cm.

Indice 1

Ici on connaît l'hypoténuse : l'égalité ne s'écrit pas comme avant pour le calcul.

Indice 2

Isole $HI^2$ en soustrayant.

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est $[GI]$ , de longueur 17 cm.
On écrit : $GI^2 = GH^2 + HI^2$ .
On isole : $HI^2 = GI^2 - GH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$ .
Donc $HI = \sqrt{225} = 15$ cm.

$HI =$ 15 cm. Contrôle : 15 est plus petit que 17, ce qui est cohérent pour un côté de l'angle droit.

Exercice 4 La diagonale d'un rectangle

★★☆Environ 8 min

Un plan de travail rectangulaire mesure 9 dm de large et 12 dm de long. Un artisan veut vérifier sa forme avec la diagonale. Quelle doit être la longueur de la diagonale, en dm ?

Indice 1

Dessine le rectangle et trace une diagonale : tu obtiens un triangle rectangle.

Indice 2

La diagonale est l'hypoténuse ; n'oublie pas d'élever les deux longueurs au carré.

Voir la correction pas à pas

Les angles d'un rectangle sont droits : la diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles dont elle est l'hypoténuse.
Les ressources officielles prennent justement l'exemple de la diagonale d'un rectangle.¹ On écrit : $d^2 = 9^2 + 12^2$ .
On calcule : $d^2 = 81 + 144 = 225$ .
On conclut : $d = \sqrt{225} = 15$ dm.

La diagonale mesure 15 dm. Si l'artisan mesure une autre valeur, le plan n'est pas parfaitement rectangulaire.

Exercice 5 L'échelle contre le mur

★★☆Environ 10 min

Un peintre pose une échelle de 5 m contre un mur vertical. Le sol est horizontal et le pied de l'échelle est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur, en m ?

Indice 1

Le mur et le sol forment un angle droit : l'échelle est l'hypoténuse.

Indice 2

On cherche un côté de l'angle droit : il faut soustraire.

Voir la correction pas à pas

Le mur est vertical, le sol horizontal : le triangle formé avec l'échelle est rectangle au pied du mur, et l'échelle (5 m) en est l'hypoténuse.
On écrit : $h^2 + 1{,}4^2 = 5^2$ .
On isole : $h^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04$ .
On calcule : $h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ m.

L'échelle touche le mur à 4,8 m de hauteur. Le résultat est inférieur à 5 m, comme il se doit.

Exercice 6 Réciproque : le triangle est-il rectangle ?

★★☆Environ 10 min

Un triangle $KLM$ a pour côtés $KL = 7{,}5$ cm, $LM = 10$ cm et $KM = 12{,}5$ cm. Calcule la somme des carrés des deux plus petits côtés (soit $KL^2 + LM^2$ , en cm²), puis dis si le triangle est rectangle.

Indice 1

Le plus grand côté est le seul candidat pour être l'hypoténuse.

Indice 2

Compare $KL^2 + LM^2$ avec $KM^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est $[KM]$ : si le triangle est rectangle, c'est son hypoténuse.
On calcule $KL^2 + LM^2 = 7{,}5^2 + 10^2 = 56{,}25 + 100 = 156{,}25$ cm².
On calcule $KM^2 = 12{,}5^2 = 156{,}25$ cm².
Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, qui figure au programme de CAP,¹ le triangle $KLM$ est rectangle en $L$ .

$KL^2 + LM^2 =$ 156,25 cm², valeur égale à $KM^2$ : le triangle est rectangle en $L$ , car $L$ est le sommet opposé à $[KM]$ . Si les deux nombres avaient été différents, le triangle n'aurait pas été rectangle.

Exercice 7 Périmètre d'un demi-rectangle

★★★Environ 12 min

Un terrain rectangulaire $ABCD$ mesure $AB = 24$ m et $BC = 7$ m. On le coupe en deux triangles par la diagonale $[AC]$ . On clôture le triangle $ABC$ sur tout son contour. Calcule la longueur de clôture nécessaire, en m.

Indice 1

Cette tâche se découpe : d'abord la diagonale, ensuite le périmètre.

Indice 2

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .

Voir la correction pas à pas

Première tâche : trouver $AC$ . Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ (angle du rectangle), donc $[AC]$ est son hypoténuse.
On écrit : $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$ .
On calcule : $AC = \sqrt{625} = 25$ m.
Deuxième tâche : le périmètre vaut $AB + BC + AC = 24 + 7 + 25 = 56$ m.

Il faut 56 m de clôture. Décomposer en deux tâches simples, comme le demande le programme,¹ évite de se perdre dans le calcul.

Exercice 8 Aire d'un triangle isocèle

★★★Environ 15 min

Un fanion a la forme d'un triangle isocèle de base 10 cm. Chacun de ses deux côtés égaux mesure 13 cm. Calcule l'aire du fanion, en cm².

Indice 1

Trace la hauteur issue du sommet principal : elle coupe la base en deux parties égales.

Indice 2

Calcule la hauteur avec Pythagore, puis utilise $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

La hauteur issue du sommet principal est perpendiculaire à la base et la coupe en deux segments de 5 cm : on obtient deux triangles rectangles.
Dans l'un d'eux, l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l'angle droit 5 cm : $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ .
On calcule : $h = \sqrt{144} = 12$ cm.
L'aire vaut $\frac{10 \times 12}{2} = 60$ cm².

L'aire du fanion est de 60 cm². Cet exercice combine deux notions : Pythagore pour la hauteur, puis la formule d'aire d'un triangle.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?

L'hypoténuse est le côté situé en face de l'angle droit. Dans un triangle rectangle, c'est toujours le plus long côté. Repère donc d'abord l'angle droit sur ton schéma, puis cherche le côté qui ne le touche pas. Le théorème relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle,² donc sans angle droit on ne peut pas l'utiliser pour calculer.

Faut-il additionner ou soustraire les carrés ?

Tout dépend du côté cherché. Pour l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés. Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : carré de l'hypoténuse moins carré de l'autre côté. Vérifie ensuite que l'hypoténuse reste le plus grand côté.

Que faire si la racine carrée ne tombe pas juste ?

Donne la valeur approchée demandée par l'énoncé, en général arrondie au dixième ou au centième, avec l'unité. Par exemple $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ . Garde le résultat exact dans ta calculatrice jusqu'à la fin pour ne pas cumuler les arrondis. Dans les documents officiels, l'oubli d'élever au carré lors d'un calcul de diagonale figure parmi les erreurs signalées :¹ relis donc ton calcul avant de conclure.

Sources

Documents officiels CAP mathématiques, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Théorème de Pythagore, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Pythagore, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Calculer une hypoténuse (6 et 8)

Exercice 2 Une hypoténuse avec 5 et 12

Exercice 3 Calculer un côté de l'angle droit

Exercice 4 La diagonale d'un rectangle

Exercice 5 L'échelle contre le mur

Exercice 6 Réciproque : le triangle est-il rectangle ?

Exercice 7 Périmètre d'un demi-rectangle

Exercice 8 Aire d'un triangle isocèle

Les questions qu'on se pose

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