Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Ordres de grandeur et puissances de dix : cours de 1re techno
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Les puissances de dix donnent une façon commode de manipuler les très grands et les très petits nombres et d'exprimer des ordres de grandeur 1.
Règles à connaître : 10a×10b=10a+b, 10b10a=10a−b, (10a)b=10ab, 10−n=10n1.
L'ordre de grandeur d'un nombre se rattache à l'exposant n de sa notation scientifique a×10n1.
On s'en sert pour estimer un calcul et pour contrôler un résultat, avec ou sans calculatrice 34.
Piège classique : additionner les exposants lors d'une addition de nombres, alors que cette règle ne vaut que pour les produits.
Pourquoi parler d'ordres de grandeur ?
Un résultat de calcul peut être faux sans que ce soit visible : une virgule mal placée, un zéro de trop, une unité oubliée. Sur ta calculatrice, tu lis un nombre, mais rien ne t'indique s'il est raisonnable. Les ordres de grandeur servent précisément à cela : savoir en quelques secondes si un résultat est du bon ordre de taille.
Les puissances de dix sont l'outil naturel pour y parvenir. Elles fournissent une interprétation commode des ordres de grandeur 1. Au lycée, ces techniques font partie des automatismes : techniques calculatoires sur les fractions, les puissances, les pourcentages et les ordres de grandeur 2. Elles reviennent donc régulièrement, souvent sans qu'on te l'annonce, au début ou au milieu d'un exercice.
Ce cours t'apprend dans l'ordre :
à manipuler les puissances de dix (définition et règles de calcul) ;
à écrire un nombre en notation scientifique ;
à trouver l'ordre de grandeur d'un nombre ;
à estimer le résultat d'un calcul sans calculatrice ;
à contrôler un résultat obtenu avec la calculatrice ou un tableur.
Les puissances de dix : définition
Le nombre « dix puissance n » doit être défini avec soin 1. Voici comment on procède selon que l'exposant est positif, nul ou négatif.
Quelques puissances de dix et leur écriture décimale
Puissance
Écriture décimale
$10^{-3}$
0,001
$10^{-2}$
0,01
$10^{-1}$
0,1
$10^{0}$
1
$10^{1}$
10
$10^{3}$
1 000
$10^{6}$
1 000 000
Quelques puissances de dix et leur écriture décimale · Chaque fois que l'exposant augmente de 1, le nombre est multiplié par 10.
On a bien 5=3+2 : on compte le nombre total de facteurs 10. Le raisonnement est le même pour n'importe quels entiers positifs a et b.
Notation scientifique et écriture décimale
La notation scientifique n'est pas seulement une façon de gagner de la place : elle fait apparaître immédiatement l'exposant n, qui renseigne sur la taille du nombre. C'est cet exposant qui permet de parler d'ordre de grandeur 1.
L'ordre de grandeur d'un nombre
On relie l'ordre de grandeur d'un nombre à l'exposant n de son écriture scientifique a×10n1. En pratique, on remplace le nombre par la puissance de dix la plus proche. Tu conserves ainsi l'essentiel : quelle est la taille du nombre (des dizaines, des milliers, des millionièmes) ?
Estimer un calcul sans calculatrice
Estimer, c'est remplacer chaque nombre par une valeur simple proche de lui, puis calculer avec ces valeurs simples. Les ordres de grandeur permettent d'estimer des résultats 4. L'estimation ne donne pas la valeur exacte ; elle donne un résultat du bon ordre de taille, qui sert de repère.
ArrondirRemplace chaque nombre par une valeur simple proche.
SéparerTraite les chiffres et les puissances de dix à part.
CalculerAdditionne ou soustrais les exposants, puis termine.
ComparerConfronte l'estimation au résultat exact obtenu.
Estimer un calcul en quatre étapes · Une estimation prend moins d'une minute et évite les erreurs de zéros.
Contrôler un résultat avec un ordre de grandeur
Utiliser un ordre de grandeur pour contrôler un résultat est une compétence explicitement attendue au programme 3. Elle s'applique aussi quand on effectue une application numérique d'une formule : longueurs, aires, volumes, ou formule simple venue d'une autre discipline 3. La démarche est toujours la même : on calcule vite une estimation, puis on la compare au résultat obtenu.
Les erreurs à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Produit de nombres en notation scientifique
★☆☆Environ 5 min
Calcule A=(3×104)×(2×10−6) et donne le résultat en écriture décimale.
Indice 1
Multiplie d'abord les parties décimales, puis les puissances de dix séparément.
Indice 2
Pour les puissances de dix d'un produit, additionne les exposants.
Voir la correction pas à pas
On regroupe : A=(3×2)×(104×10−6).
Partie décimale : 3×2=6.
Puissances de dix : 104×10−6=104+(−6)=10−2.
Donc A=6×10−2, qui est déjà en notation scientifique.
Écriture décimale : on déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche, A=0,06.
A=6×10−2=0,06. Contrôle : 3×104=30000 et 2×10−6=0,000002 ; 30000×0,000002=0,06.
Exercice 2 Estimer puis contrôler un produit
★★☆Environ 8 min
Un élève doit calculer 4987×203. Estime d'abord ce produit en arrondissant chaque facteur, puis calcule la valeur exacte. Donne la valeur exacte comme réponse et indique l'ordre de grandeur du résultat.
Indice 1
Arrondis 4 987 à 5 000 et 203 à 200.
Indice 2
Pour 5000×200, calcule 5×2 puis ajoute les zéros.
Voir la correction pas à pas
Estimation : 4987≈5000 et 203≈200.
On calcule 5000×200=5×103×2×102=10×105=106, soit 1000000.
Calcul exact : 4987×200=997400 et 4987×3=14961.
On additionne : 997400+14961=1012361.
Comparaison : l'estimation 1000000 et le résultat 1012361 sont très proches. Le résultat est donc vraisemblable.
Notation scientifique : 1012361≈1,01×106, d'ordre de grandeur 106.
4987×203=1012361. L'estimation 106 confirme que le résultat est du bon ordre : un résultat de 101236 ou de 10123610 aurait été rejeté.
Exercice 3 Quotient et ordre de grandeur
★★★Environ 10 min
On veut calculer Q=6×1032,4×108.
Calcule Q et donne sa valeur décimale.
Écris Q en notation scientifique et donne son ordre de grandeur.
Contrôle : un élève trouve 4×1011. Explique pourquoi c'est impossible, sans refaire le calcul exact.
Indice 1
Traite séparément 62,4 et 103108.
Indice 2
Pour le contrôle, remplace les nombres par 103108 à peu près.
Voir la correction pas à pas
On sépare : Q=62,4×103108.
Parties décimales : 62,4=0,4.
Puissances de dix : 103108=108−3=105.
Donc Q=0,4×105=40000.
Notation scientifique : 0,4×105=4×10−1×105=4×104.
Ordre de grandeur : a=4 est un cas limite entre 104 et 105 ; on retient simplement que Q est de l'ordre de quelques dizaines de milliers, avec un exposant égal à 4.
Contrôle : le numérateur est de l'ordre de 108 et le dénominateur de l'ordre de 103. Le quotient est donc de l'ordre de 108−3=105 au plus. Un résultat de 4×1011 est dix millions de fois plus grand que 4×104 : il y a forcément une erreur d'exposant.
Q=4×104=40000. L'exposant du quotient se calcule par une soustraction : 8−3=5, avant correction de la partie décimale. Le résultat 4×1011 vient d'une erreur d'exposant : il faut soustraire les exposants, pas les additionner (une addition 8+3 donnerait d'ailleurs 0,4×1011=4×1010).
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
10−3=1031=10001=0,001. Le signe de l'exposant ne rend pas le nombre négatif, ce qui écarte −1000 et −0,001. Quant à 0,0001, il vaut 10−4 : il a quatre chiffres après la virgule, alors que 10−3 en a trois.
Pour un produit de puissances de dix, on additionne les exposants : 5+(−8)=−3, donc 10−3. Le choix 10−40 vient d'une multiplication des exposants, règle réservée aux puissances de puissances. Le choix 10−13 vient d'une erreur de signe (−5+(−8)), et 103 d'une soustraction faite à l'envers (8−5).
La virgule se déplace de 4 rangs vers la droite pour obtenir 3,2, donc l'exposant est −4 : 3,2×10−4. Un nombre inférieur à 1 a un exposant négatif, ce qui exclut 104. L'écriture 32×10−5 vaut bien 0,00032 mais n'est pas scientifique, car 32 n'est pas inférieur à 10. L'exposant −5 avec 3,2 donnerait 0,000032.
Le facteur 7,2 est plus proche de 10 que de 1, donc l'ordre de grandeur est 103+1=104. Garder 103 revient à tronquer le nombre au lieu de chercher la puissance de dix la plus proche. Un ordre de grandeur est une puissance de dix pure, donc 7×103 n'en est pas un.
Faux. Les exposants s'additionnent pour un produit, pas pour une somme. Ici, 5×103+2×102=5000+200=5200=5,2×103. Le résultat 7×105=700000 est très loin de 5200, ce qu'un simple contrôle d'ordre de grandeur aurait montré.
On additionne les exposants : 3+(−5)+4=2, donc le produit vaut 102=100. Si tu obtiens 10−2=0,01, tu as sans doute inversé un signe ; si tu obtiens 1012, tu as multiplié les exposants au lieu de les additionner.
On arrondit 9,8 à 10 et 2,1 à 2 : 210=5. Pour les puissances, 106/102=104. On obtient environ 5×104. L'estimation 5×108 vient d'une addition des exposants, et 5×103 d'une erreur de soustraction. Le choix 2×104 oublie de diviser par le bon facteur : 10/2=5, pas 2.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre notation scientifique et ordre de grandeur ?
La notation scientifique est une écriture exacte : a×10n avec 1≤a<10. L'ordre de grandeur est une approximation : une puissance de dix. On le déduit de l'exposant n de la notation scientifique, en regardant si a est proche de 1 ou de 10 1. Exemple : 2,3×106 s'écrit exactement ainsi, et son ordre de grandeur est 106.
Comment savoir si je dois additionner ou soustraire les exposants ?
Regarde l'opération entre les puissances de dix. Pour un produit, tu additionnes : 10a×10b=10a+b. Pour un quotient, tu soustrais : 10a/10b=10a−b. Pour une somme ou une différence de nombres, aucune de ces règles ne s'applique : on revient à l'écriture décimale ou on met la même puissance de dix en facteur.
À quoi sert un ordre de grandeur si la calculatrice donne le résultat exact ?
À repérer les erreurs de saisie : une parenthèse oubliée, une touche d'exposant mal utilisée, une virgule décalée. La calculatrice calcule ce que tu lui demandes, pas ce que tu voulais. Une estimation rapide permet de contrôler le résultat 34. Elle sert aussi quand aucun outil n'est disponible.
Que faire quand le facteur est autour de 3 ou 5 pour trouver l'ordre de grandeur ?
Dans ces cas limites, deux puissances de dix sont presque aussi proches l'une que l'autre, et la convention peut varier d'un enseignant ou d'un énoncé à l'autre. Suis la consigne de ton énoncé ou de ton professeur. Dans un contrôle de résultat, le choix n'a de toute façon pas d'importance : on cherche seulement un écart de facteur 10, 100 ou plus, et non une valeur précise.
Comment passer vite de $10^{-4}$ à l'écriture décimale ?
Compte quatre chiffres après la virgule, le dernier étant un 1 : 10−4=0,0001. Pour a×10−4, place le chiffre a en quatrième position après la virgule : 3×10−4=0,0003. Vérifie ensuite que le nombre est bien inférieur à 1.