Ordres de grandeur et puissances de dix : exercices de 1re techno

On applique la règle du produit : $10^a\times10^b=10^{a+b}$.

Ici $a=3$ et $b=4$, donc $10^3\times10^4=10^{3+4}$.

On calcule : $3+4=7$, donc $n=7$.

On cherche $a$ avec $1\le a<10$ : on obtient $a=4{,}5$.

Pour passer de $4{,}5$ à $45\,000$, la virgule se décale de 4 rangs vers la droite.

Donc $45\,000=4{,}5\times10^4$ et $n=4$.

On cherche $a$ avec $1\le a<10$ : on obtient $a=7{,}2$.

Pour passer de $0{,}0072$ à $7{,}2$, on décale la virgule de 3 rangs vers la droite : on a multiplié par $10^3$.

Pour retrouver le nombre de départ, on divise par $10^3$, donc $0{,}0072=7{,}2\times10^{-3}$ et $n=-3$.

On regroupe : $P=(4{,}2\times3{,}1)\times(10^5\times10^{-2})$.

On calcule les coefficients : $4{,}2\times3{,}1=13{,}02$.

On additionne les exposants : $10^5\times10^{-2}=10^{3}$.

On obtient $P=13{,}02\times10^3=13\,020$.

Contrôle : l'estimation $4\times3\times10^3=12\,000$ est du même ordre que $13\,020$, le résultat est plausible.

Un mètre vaut $10^6$ micromètres, donc on multiplie la mesure en mètres par $10^6$.

On calcule : $8\times10^{-5}\times10^{6}=8\times10^{-5+6}$.

On obtient $8\times10^{1}=80$.

Contrôle : un cheveu mesure quelques dizaines de micromètres, le résultat est cohérent avec cet ordre de grandeur.

On multiplie la taille en Go par le nombre d'octets d'un Go : $2{,}4\times10^9$.

On décale la virgule de 9 rangs : $2{,}4\times10^9=2\,400\,000\,000$.

Contrôle : l'ordre de grandeur de $2{,}4\times10^9$ est $10^9$, ce qui correspond bien à un fichier de l'ordre du gigaoctet.

On arrondit : $38\approx40$ et $205\approx200$, donc $38\times205\approx40\times200=8\,000$.

L'élève a trouvé $77\,900$, soit presque dix fois l'estimation : son résultat est incohérent.

On refait le calcul exact : $38\times205=38\times200+38\times5=7\,600+190$.

On obtient $7\,790$, proche de $8\,000$.

On convertit l'arête : $2{,}5\times10^{-2}\ \text{m}=2{,}5\ \text{cm}$.

On applique la formule : $V=2{,}5^3=2{,}5\times2{,}5\times2{,}5$.

On calcule : $2{,}5\times2{,}5=6{,}25$, puis $6{,}25\times2{,}5=15{,}625$.

Contrôle : avec $3^3=27$ et $2^3=8$, le volume est compris entre 8 et 27, donc $15{,}625$ est plausible.

On écrit : $t=\dfrac{1{,}5\times10^{11}}{3\times10^{8}}$.

On sépare : $t=\dfrac{1{,}5}{3}\times\dfrac{10^{11}}{10^{8}}$.

On calcule : $\dfrac{1{,}5}{3}=0{,}5$ et $\dfrac{10^{11}}{10^8}=10^{3}$.

On obtient $t=0{,}5\times10^3=500$ s.

Contrôle : $0{,}5\times10^3=5\times10^2$, donc l'ordre de grandeur est $10^3$ s, soit quelques minutes (environ 8 minutes et 20 secondes).