Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Taux de variation et nombre dérivé : cours de 1re technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le taux de variation de f entre a et b vaut b−af(b)−f(a) : c'est la pente de la droite qui joint deux points de la courbe.
Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux de variation entre a et a+h quand h se rapproche de 0.
Méthode : écrire le taux entre a et a+h, développer, simplifier par h, puis faire tendre h vers 0.
Sur la courbe, le nombre dérivé en a donne la pente de la tangente au point (a;f(a)).
Si le taux n'a pas de limite finie, la fonction n'est pas dérivable en ce point.
Pourquoi mesurer une variation ?
Une quantité change : la température d'une pièce, le prix d'un abonnement, la distance parcourue par un cycliste. Pour décrire ce changement, on ne se contente pas de dire « ça a augmenté ». On cherche de combien et à quelle vitesse.
En mathématiques, on modélise la quantité par une fonction. On note y=f(x) ou x↦f(x) : à chaque valeur de la variable x correspond une valeur de la grandeur y. Le programme de première technologique demande alors de mesurer comment y varie quand x passe d'une valeur à une autre : c'est le taux de variation. 1
Ce chapitre suit une progression simple :
on calcule un taux de variation entre deux valeurs éloignées ;
on resserre ces deux valeurs de plus en plus ;
on obtient le nombre dérivé, qui mesure la variation « à un instant précis ».
Ce travail prépare la tangente, la fonction dérivée et l'étude des variations, que tu rencontreras ensuite.
Le taux de variation entre deux valeurs
Cette écriture est un quotient. Si y augmente de 6 quand x augmente de 2, le taux vaut 26=3 : en moyenne, y augmente de 3 unités pour chaque unité de x. C'est une variation moyenne sur l'intervalle.
Taux de variation de x² entre 1 et 3 · La droite (AB) a pour pente le taux de variation : (9 − 1) / (3 − 1) = 4.
Méthode : calculer un taux de variation
Resserrer l'intervalle : le taux entre a et a+h
Le taux de variation donne une vitesse moyenne. Mais comment connaître la vitesse à un instant précis ? L'idée consiste à prendre deux valeurs de plus en plus proches. On fixe a et on choisit comme deuxième valeur a+h, où h est un petit nombre non nul, positif ou négatif.
Écrire le taux(f(a+h) − f(a)) / h avec h ≠ 0
DévelopperRemplacer x par a+h et réduire
SimplifierFactoriser par h puis simplifier
Passer à la limiteLire la valeur quand h tend vers 0
Calculer un nombre dérivé
Le nombre dérivé : définition
Le mot « limite » signifie ici que les valeurs du taux s'approchent aussi près qu'on veut d'un nombre, à condition de prendre h assez petit. Au niveau de la première technologique, on la lit sur l'expression simplifiée. Dans l'exemple précédent, le taux vaut 4+h : quand h devient aussi petit qu'on veut, 4+h devient aussi proche de 4 qu'on veut. On écrit f′(2)=4.
Sens graphique : la tangente
Cela explique le passage à la limite. La droite (AB), avec A fixe et B d'abscisse a+h, pivote autour de A quand h diminue. Sa pente est le taux de variation. À la limite, la droite prend la position de la tangente, dont la pente est f′(a).
La tangente sera étudiée plus en détail ensuite. Retiens pour l'instant le lien : nombre dérivé = pente de la tangente.
Quand le nombre dérivé n'existe pas
Il arrive que le taux de variation n'ait pas de limite finie quand h tend vers 0. Dans ce cas, la fonction n'est pas dérivable au point étudié et il n'y a pas de nombre dérivé.
Méthode complète et erreurs à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Un taux de variation
★☆☆Environ 5 min
Soit f(x)=x2+1. Calcule le taux de variation de f entre 1 et 3.
Indice 1
Calcule d'abord f(1) puis f(3).
Indice 2
Divise la différence des images par la différence des abscisses.
Voir la correction pas à pas
On calcule f(1)=12+1=2.
On calcule f(3)=32+1=10.
La variation de y est 10−2=8 ; la variation de x est 3−1=2.
Le taux vaut 28=4.
Entre 1 et 3, la fonction augmente en moyenne de 4 unités de y par unité de x ; la droite joignant les deux points a pour pente 4.
Exercice 2 Un nombre dérivé par la limite
★★☆Environ 10 min
Soit f(x)=x2. Pour h=0, exprime le taux de variation entre 2 et 2+h sous forme simplifiée, puis détermine le nombre dérivé f′(2).
Indice 1
Développe (2+h)2 en pensant au double produit.
Indice 2
Factorise le numérateur par h avant de simplifier.
Voir la correction pas à pas
On écrit le taux : hf(2+h)−f(2)=h(2+h)2−4.
On développe : (2+h)2=4+4h+h2, donc le numérateur vaut 4h+h2.
On factorise : 4h+h2=h(4+h), puis on simplifie par h=0 : le taux vaut 4+h.
Quand h tend vers 0, 4+h tend vers 4. Donc f′(2)=4.
Le nombre dérivé de x↦x2 en 2 est 4 : la tangente en x=2 a pour coefficient directeur 4.
Exercice 3 Un nombre dérivé négatif
★★★Environ 12 min
Soit f(x)=x2−3x. Calcule f′(1) en passant par le taux de variation entre 1 et 1+h, puis interprète le signe du résultat.
Indice 1
Calcule f(1) avant tout : c'est un nombre.
Indice 2
Attention aux parenthèses dans −3(1+h).
Voir la correction pas à pas
On calcule f(1)=1−3=−2.
On calcule f(1+h)=(1+h)2−3(1+h)=1+2h+h2−3−3h=h2−h−2.
Le numérateur vaut f(1+h)−f(1)=h2−h−2+2=h2−h=h(h−1).
Pour h=0, le taux vaut h−1 ; quand h tend vers 0, il tend vers −1. Donc f′(1)=−1.
Le nombre dérivé est négatif : la tangente en x=1 descend, la fonction décroît autour de 1.
On trouve f′(1)=−1. La pente de la tangente est négative, ce qui correspond à une fonction décroissante près de x=1.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le taux compare la variation de y à la variation de x, avec le même ordre en haut et en bas : b−af(b)−f(a). Inverser l'ordre au dénominateur (deuxième choix) change le signe. Additionner ou diviser les images ne mesure pas une variation.
Le nombre dérivé est la limite du taux hf(a+h)−f(a) quand h tend vers 0. La valeur f(a) est l'ordonnée du point, pas une pente. Un taux entre 0 et a reste une variation moyenne, sans passage à la limite.
C'est vrai : le nombre dérivé donne la pente de la tangente au point (a;f(a)), à condition que cette tangente existe. Il ne faut pas le confondre avec l'ordonnée du point, qui est f(a).
On a f(0)=0 et f(2)=12. Le taux vaut 2−012−0=6. L'erreur tentante est d'oublier de diviser par 2−0 et de répondre 12.
Quand h tend vers 0, 4+h tend vers 4, donc f′(2)=4. La réponse 0 viendrait d'un oubli du terme 4 ; la réponse 2 confond le nombre dérivé avec l'abscisse a.
C'est faux : si la courbe fait un saut en un point, on ne peut pas y définir de tangente, donc la fonction n'y est pas dérivable. L'erreur tentante serait de croire qu'une limite du taux existe toujours.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre taux de variation et nombre dérivé ?
Le taux de variation se calcule entre deux valeurs distinctes de x et donne une variation moyenne : c'est la pente d'une droite qui coupe la courbe en deux points. Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand les deux valeurs se rejoignent : c'est la pente de la tangente en un seul point. 13
Pourquoi ne peut-on pas remplacer h par 0 tout de suite ?
Parce que le taux hf(a+h)−f(a) n'est défini que pour h=0. Avec h=0, tu obtiens 00, qui n'a pas de sens. On simplifie d'abord par h, puis on regarde ce que devient l'expression quand h s'approche de 0.
Un nombre dérivé peut-il être négatif ou nul ?
Oui. Un nombre dérivé négatif indique une tangente qui descend, donc une fonction qui décroît autour du point. Un nombre dérivé nul correspond à une tangente horizontale, souvent au niveau d'un maximum ou d'un minimum. Le signe de la dérivée sert ensuite à étudier les variations. 13
À quoi sert le nombre dérivé en pratique ?
Il mesure la vitesse de variation d'une grandeur à un instant donné : vitesse d'un mobile, rythme de croissance d'un coût, d'une population. Il permet de construire des tangentes et de repérer des maxima et des minima, donc de résoudre des problèmes d'optimisation. 3
Est-ce que je dois savoir faire ces calculs de limite à chaque fois ?
Le programme demande de limiter les calculs de taux de variation à quelques cas, car la lecture du signe de la dérivée devient ensuite l'outil principal. 1 Retiens la méthode sur x2 et sur des fonctions affines : elle donne le sens du nombre dérivé, que tu utiliseras ensuite avec des formules.