Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Taux de variation et nombre dérivé : exercices de 1re techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le taux de variation de f entre a et b vaut $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ : c'est la pente de la droite qui joint les deux points de la courbe.
En posant $b=a+h$ , il s'écrit $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ; on simplifie par $h$ avant de faire tendre $h$ vers 0.
Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite de ce taux quand $h$ tend vers 0, si elle existe et est finie.³
Graphiquement, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ .³

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du calcul le plus simple, un taux de variation entre deux valeurs, jusqu'au nombre dérivé et à son interprétation. Cherche toujours à la main d'abord, avec une feuille. Ouvre un indice seulement si tu bloques, puis compare avec la correction étape par étape.

Vérifier et interpréter tes résultats

Après chaque calcul, prends une minute pour contrôler ta réponse. Pour un taux de variation, vérifie que tu as bien soustrait dans le même ordre au numérateur et au dénominateur : $f(b)-f(a)$ au-dessus, $b-a$ en dessous. Une inversion change le signe du résultat. Pour un nombre dérivé, regarde si l'expression simplifiée ne contient plus $h$ au dénominateur avant de faire tendre $h$ vers 0.

Les exercices

Exercice 1 Taux de variation entre deux valeurs

★☆☆Environ 5 min

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+3x$ . Calcule le taux de variation de $f$ entre $x=1$ et $x=4$ .

Indice 1

Calcule d'abord $f(1)$ et $f(4)$ .

Indice 2

Applique $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ avec $a=1$ et $b=4$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $f(1)=1^2+3\times 1=4$ .
On calcule $f(4)=4^2+3\times 4=16+12=28$ .
On applique la formule : $\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{28-4}{3}$ .
On simplifie : $\dfrac{24}{3}=8$ .

Le taux de variation de $f$ entre 1 et 4 est 8 : en moyenne, $f(x)$ augmente de 8 quand $x$ augmente de 1 sur cet intervalle.

Exercice 2 Taux de variation entre 2 et 2 + h

★☆☆Environ 6 min

Soit $f(x)=2x^2-x$ . Pour un réel $h\neq 0$ , on note $T(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ .

Exprime $T(h)$ en fonction de $h$ .
Calcule $T(0{,}1)$ .

Indice 1

Développe $(2+h)^2$ avant de distribuer le 2.

Indice 2

Après simplification, $T(h)$ ne doit plus avoir $h$ au dénominateur.

Voir la correction pas à pas

On calcule $f(2)=2\times 4-2=6$ .
On développe $f(2+h)=2(4+4h+h^2)-(2+h)=8+8h+2h^2-2-h=6+7h+2h^2$ .
On forme la différence : $f(2+h)-f(2)=7h+2h^2$ .
On divise par $h$ : $T(h)=\dfrac{h(7+2h)}{h}=7+2h$ .
On remplace $h$ par 0,1 : $T(0{,}1)=7+0{,}2=7{,}2$ .

On a $T(h)=7+2h$ et $T(0{,}1)=\mathbf{7{,}2}$ . Quand $h$ devient très petit, $T(h)$ se rapproche de 7.

Exercice 3 Un premier nombre dérivé

★☆☆Environ 8 min

Soit $f(x)=x^2$ . Pour $h\neq 0$ , on considère le taux de variation de $f$ entre 3 et $3+h$ .

Montre qu'il est égal à $6+h$ .
En déduire le nombre dérivé $f'(3)$ .

Indice 1

Utilise l'identité $(3+h)^2=9+6h+h^2$ .

Indice 2

Que devient $6+h$ quand $h$ tend vers 0 ?

Voir la correction pas à pas

On a $f(3)=9$ et $f(3+h)=(3+h)^2=9+6h+h^2$ .
La différence vaut $f(3+h)-f(3)=6h+h^2$ .
On divise par $h$ : $\dfrac{6h+h^2}{h}=6+h$ .
Quand $h$ tend vers 0, $6+h$ tend vers 6, donc $f'(3)=6$ .

Le taux de variation est $6+h$ et le nombre dérivé vaut $f'(3)=\mathbf{6}$ .

Exercice 4 Nombre dérivé d'une fonction du second degré

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=3x^2-2x$ . Détermine le nombre dérivé de $f$ en $a=1$ .

Indice 1

Calcule $f(1)$ , puis $f(1+h)$ en développant $3(1+h)^2$ .

Indice 2

Après la différence, factorise par $h$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $f(1)=3-2=1$ .
On développe $f(1+h)=3(1+2h+h^2)-2(1+h)=3+6h+3h^2-2-2h=1+4h+3h^2$ .
On forme la différence : $f(1+h)-f(1)=4h+3h^2$ .
On divise par $h$ : $\dfrac{4h+3h^2}{h}=4+3h$ .
Quand $h$ tend vers 0, $4+3h$ tend vers 4.

Le nombre dérivé est $f'(1)=\mathbf{4}$ .

Exercice 5 Où la tangente est-elle horizontale ?

★★☆Environ 12 min

Soit $f(x)=x^2-4x$ et $a$ un réel quelconque.

Calcule, en fonction de $a$ et de $h$ , le taux de variation entre $a$ et $a+h$ .
En déduire $f'(a)$ en fonction de $a$ .
Pour quelle valeur de $a$ a-t-on $f'(a)=0$ ?

Indice 1

Développe $(a+h)^2$ et $-4(a+h)$ , puis regarde quels termes s'annulent avec $f(a)$ .

Indice 2

Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul.

Voir la correction pas à pas

On écrit $f(a+h)=a^2+2ah+h^2-4a-4h$ .
On soustrait $f(a)=a^2-4a$ : $f(a+h)-f(a)=2ah+h^2-4h$ .
On divise par $h$ : le taux vaut $2a+h-4$ .
Quand $h$ tend vers 0, on obtient $f'(a)=2a-4$ .
On résout $2a-4=0$ , ce qui donne $a=2$ .

On a $f'(a)=2a-4$ , et $f'(a)=0$ pour $a=\mathbf{2}$ : en ce point, la tangente à la courbe est horizontale.

Exercice 6 Lire un nombre dérivé sur une tangente

★★☆Environ 8 min

La courbe d'une fonction $f$ passe par le point $A(2\,;\,5)$ . Sa tangente en $A$ passe aussi par le point $B(4\,;\,11)$ . Détermine $f'(2)$ .

Indice 1

Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente.³

Indice 2

Calcule la pente de la droite $(AB)$ .

Voir la correction pas à pas

Le nombre dérivé $f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente en $A$ .³
Cette tangente est la droite $(AB)$ , dont le coefficient directeur est $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .
On calcule $\dfrac{11-5}{4-2}=\dfrac{6}{2}=3$ .

On obtient $f'(2)=\mathbf{3}$ . Attention : $B$ n'est pas forcément sur la courbe, il est seulement sur la tangente.

Exercice 7 Coût moyen d'une hausse de production

★★☆Environ 10 min

Une entreprise fabrique $x$ objets par jour. Le coût de fabrication, en euros, est $C(x)=0{,}5x^2+20x$ .

Calcule le taux de variation de $C$ entre $x=10$ et $x=20$ , puis interprète le résultat.

Indice 1

Calcule $C(10)$ et $C(20)$ séparément.

Indice 2

Le résultat s'exprime en euros par objet.

Voir la correction pas à pas

On calcule $C(10)=0{,}5\times 100+20\times 10=50+200=250$ .
On calcule $C(20)=0{,}5\times 400+20\times 20=200+400=600$ .
On applique la formule : $\dfrac{C(20)-C(10)}{20-10}=\dfrac{350}{10}=35$ .
On interprète : passer de 10 à 20 objets ajoute en moyenne 35 euros de coût par objet supplémentaire.

Le taux de variation vaut 35 euros par objet : chaque objet supplémentaire entre 10 et 20 coûte en moyenne 35 euros de plus.

Exercice 8 Coût pour un objet de plus, en 10

★★★Environ 12 min

On reprend $C(x)=0{,}5x^2+20x$ , en euros.

Calcule, pour $h\neq 0$ , le taux de variation de $C$ entre 10 et $10+h$ .
En déduire le nombre dérivé $C'(10)$ .
Compare avec le taux de variation obtenu entre 10 et 20. Que remarques-tu ?

Indice 1

Tu as déjà $C(10)=250$ .

Indice 2

Développe $0{,}5(10+h)^2=0{,}5(100+20h+h^2)$ .

Voir la correction pas à pas

On développe $C(10+h)=0{,}5(100+20h+h^2)+20(10+h)=50+10h+0{,}5h^2+200+20h=250+30h+0{,}5h^2$ .
On soustrait $C(10)=250$ : $C(10+h)-C(10)=30h+0{,}5h^2$ .
On divise par $h$ : le taux vaut $30+0{,}5h$ .
Quand $h$ tend vers 0, on obtient $C'(10)=30$ .
Entre 10 et 20, on a $h=10$ et le taux vaut $30+0{,}5\times 10=35$ , ce qui correspond bien au résultat précédent.

On trouve $C'(10)=\mathbf{30}$ euros par objet. Le taux entre 10 et 20 (35) est plus grand, car le coût augmente de plus en plus vite : le nombre dérivé décrit l'instant précis en 10, le taux décrit une moyenne sur un intervalle.

Exercice 9 Une fonction non dérivable

★★★Environ 12 min

Soit $f(x)=|x|$ la fonction valeur absolue (exercice d'approfondissement, au-delà du programme). On étudie le taux de variation entre 0 et $h$ , avec $h\neq 0$ .

Exprime ce taux pour $h>0$ , puis pour $h<0$ .
La fonction $f$ est-elle dérivable en 0 ? Justifie.

Indice 1

Rappelle-toi que $|h|=h$ si $h>0$ et $|h|=-h$ si $h<0$ .

Indice 2

Compare les deux valeurs obtenues quand $h$ tend vers 0.

Voir la correction pas à pas

On a $f(0)=0$ , donc le taux vaut $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{|h|}{h}$ .
Pour $h>0$ : $\dfrac{|h|}{h}=\dfrac{h}{h}=1$ .
Pour $h<0$ : $\dfrac{|h|}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$ .
Quand $h$ tend vers 0 par valeurs positives, le taux reste égal à 1 ; par valeurs négatives, il reste égal à $-1$ .
Les deux comportements diffèrent : le taux n'admet pas de limite en 0. Or une fonction n'est dérivable en un point que si ce taux admet une limite finie.³

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 : sa courbe présente un angle en ce point, et aucune tangente unique ne s'y dessine.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre taux de variation et nombre dérivé ?

Le taux de variation se calcule entre deux valeurs distinctes $a$ et $b$ : c'est une pente moyenne.¹ Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand l'écart $h$ tend vers 0 : c'est la pente en un seul point.³ Pour le calculer, tu passes d'abord par le taux de variation entre $a$ et $a+h$ .

Pourquoi ne peut-on pas remplacer $h$ par 0 tout de suite ?

Le taux s'écrit avec $h$ au dénominateur, donc $h=0$ est interdit : tu écrirais une division par zéro. Il faut d'abord développer, soustraire $f(a)$ , factoriser par $h$ et simplifier. Une fois le $h$ du dénominateur disparu, tu peux faire tendre $h$ vers 0 sans problème.

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

Étudie le taux de variation entre $a$ et $a+h$ . Si une limite finie existe quand $h$ tend vers 0, la fonction est dérivable en $a$ et cette limite est le nombre dérivé.³ Si le taux se comporte différemment à gauche et à droite, comme pour la valeur absolue en 0, il n'y a pas de limite et la fonction n'est pas dérivable en ce point.

Sources

Programme visé : Programme d'enseignement de mathématiques - Première technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme d'enseignement de mathématiques - Première technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Dérivée, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Produit dérivé financier, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Taux de variation et nombre dérivé : exercices de 1re techno

L'essentiel

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Exercice 1 Taux de variation entre deux valeurs

Exercice 2 Taux de variation entre 2 et 2 + h

Exercice 3 Un premier nombre dérivé

Exercice 4 Nombre dérivé d'une fonction du second degré

Exercice 5 Où la tangente est-elle horizontale ?

Exercice 6 Lire un nombre dérivé sur une tangente

Exercice 7 Coût moyen d'une hausse de production

Exercice 8 Coût pour un objet de plus, en 10

Exercice 9 Une fonction non dérivable

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur