Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Taux de variation et nombre dérivé : quiz de 1re technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le taux de variation de f entre a et b se calcule par b−af(b)−f(a) : c'est une variation moyenne.
Entre a et a+h, il s'écrit hf(a+h)−f(a) (avec h=0).
Le nombre dérivé en a est la limite de ce taux quand h se rapproche de 0 1.
Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a 3.
Avant de commencer
Ce quiz couvre le début du chapitre sur la dérivation : le taux de variation entre deux valeurs, son calcul à partir d'un tableau ou d'une formule, puis le passage au nombre dérivé. Tu y trouveras des calculs à faire de tête, des questions de sens (pente, limite) et des pièges classiques.
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On a f(1)=1 et f(3)=9. Le taux vaut 3−19−1=28=4. L'erreur tentante est de diviser 9−1 par 3+1 ou par 1 : le dénominateur est l'écart des abscisses, soit 3−1=2.
On a f(−1)=−1 et f(4)=14, donc le taux vaut 4−(−1)14−(−1)=515=3. Pour une fonction affine, le taux est constant et égal au coefficient de x. La réponse 5 est seulement l'écart des abscisses (le dénominateur), et 2 est l'ordonnée à l'origine, pas la variation.
Le programme définit le nombre dérivé en un point comme limite du taux de variation en ce point 1. Prendre un seul taux, par exemple entre a et a+1, donne une variation moyenne, pas une limite. Et f(a) est une image, pas une pente.
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente au graphe au point d'abscisse a, lorsqu'elle existe 3. L'ordonnée du point, c'est f(a), une notion différente. L'aire relève d'un autre chapitre.
On a f(2)=4 et f(2,1)=4,41. Le taux vaut 0,14,41−4=0,10,41=4,1. Attention à ne pas oublier de diviser par h=0,1 : sans cela on trouverait 0,41.
Le nombre dérivé est la limite de 4+h quand h se rapproche de 0 1, donc 4. On ne peut pas remplacer h par 0 dans le taux de départ, qui aurait un dénominateur nul : on simplifie d'abord.
On a f(−2)=4 et f(2)=4, donc le numérateur vaut 0 et le taux vaut 40=0. Un taux nul ne dit pas que la fonction est constante : elle redescend puis remonte entre ces deux valeurs. La réponse 4 confond l'image et le taux.
Le taux vaut 4−111−5=36=2. Diviser par 11−5 ou par 4 seulement serait faux : on divise l'écart des images par l'écart des abscisses.
Les affirmations 1, 2 et 4 sont justes : la formule est la bonne, le nombre dérivé est bien une limite, et un taux négatif traduit une baisse moyenne. L'affirmation 3 est fausse : il faut que le taux admette une limite finie, sinon la fonction n'est pas dérivable en ce point 3.
On a f(1)=2 et f(1,5)=2×2,25=4,5. Le taux vaut 0,54,5−2=0,52,5=5. Il faut penser à doubler le carré, et ne pas confondre 2x2 avec (2x)2.
C'est vrai : une fonction dérivable en un point est justement une fonction dont le taux admet une limite finie en ce point 3. Si le taux grandit sans borne, la pente de la courbe est verticale et le nombre dérivé n'existe pas.
Le signe de la dérivée est l'outil qui permet d'étudier les variations d'une fonction 1. Les autres usages cités appartiennent à d'autres chapitres et n'ont pas de lien direct avec la dérivation.
On a d(1)=5 et d(3)=45. La vitesse moyenne est le taux de variation : 3−145−5=240=20 m/s. Diviser 45 par 3 donnerait la vitesse moyenne depuis le départ, pas entre t=1 et t=3.
Le taux vaut 6−23−7=4−4=−1. La réponse 1 oublie le signe : l'image diminue, donc le taux est négatif. La réponse −4 oublie de diviser par l'écart des abscisses.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre taux de variation et nombre dérivé ?
Le taux de variation est une variation moyenne entre deux valeurs précises. Le nombre dérivé en a est la limite de ce taux quand l'écart h se rapproche de 0 1. Il décrit la pente de la tangente en un seul point 3.
Pourquoi ne peut-on pas remplacer directement h par 0 dans le taux ?
Dans hf(a+h)−f(a), mettre h=0 donne une division par zéro. On simplifie d'abord l'expression, par exemple h(2+h)2−4=4+h, puis on regarde vers quelle valeur elle se rapproche quand h devient très petit.