Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Taux de variation et nombre dérivé : fiche de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ vaut $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ : c'est la variation de $y$ pour une variation de $1$ sur $x$ , en moyenne.
Le nombre dérivé en $a$ est la limite du taux de variation quand l'écart $h$ tend vers $0$ ; on le note $f'(a)$ ¹.
Graphiquement, $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ ³.
Si la limite n'existe pas ou n'est pas finie, la fonction n'est pas dérivable en ce point ³.
Méthode : écrire le taux avec $h$ , simplifier, puis faire tendre $h$ vers $0$ .

Le taux de variation

Une fonction associe à chaque valeur $x$ une valeur $y=f(x)$ . On utilise les notations $y=f(x)$ et $x \mapsto f(x)$ ¹. Pour savoir comment $y$ change quand $x$ passe d'une valeur à une autre, on compare les deux écarts : celui des $y$ et celui des $x$ .

Du taux de variation au nombre dérivé

Le taux de variation décrit un intervalle. Pour décrire ce qui se passe en un point, on rapproche $b$ de $a$ . On pose $b=a+h$ , où $h$ est un écart de plus en plus petit. Le taux devient :

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Interprétation graphique : la tangente

Les droites qui passent par $A$ et par un point $B$ de plus en plus proche de $A$ ont des pentes égales aux taux de variation. Leur position se stabilise : elle tend vers la tangente, dont la pente est $f'(a)$ .

Méthode : calculer un nombre dérivé

Pièges et cas où le nombre dérivé n'existe pas

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre taux de variation et nombre dérivé ?

Le taux de variation concerne deux valeurs $a$ et $b$ : c'est une pente moyenne sur l'intervalle. Le nombre dérivé concerne un seul point : c'est la limite de ce taux quand l'intervalle se resserre autour de $a$ ¹.

Toutes les fonctions ont-elles un nombre dérivé en chaque point ?

Non. Il faut que le taux de variation ait une limite finie en ce point ³. Une fonction qui fait un saut n'y est pas continue, donc pas dérivable, et on ne peut pas y tracer de tangente ³.

À quoi sert le nombre dérivé ?

Il donne la pente de la tangente en un point ³. Étendu à tous les points, il mène à la fonction dérivée, dont le signe sert à étudier les variations d'une fonction ¹.

Sources

Programme visé : Programme d'enseignement de mathématiques - Première technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme d'enseignement de mathématiques - Première technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Dérivée, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Produit dérivé financier, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Taux de variation et nombre dérivé : fiche de 1re technologique

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Le taux de variation

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